Geometria dal preIMO
Inviato: 24 mag 2008, 20:28
...Direttamente per Gabriel! Riporto solo tre esercizi difficili (secondo me), non quelli più facili e non quelli del TST (che di difficile non avevano poi molto):
1) Sia $ \displaystyle w $ una circonferenza e siano $ \displaystyle A, B $ due punti esterni ad $ \displaystyle w $ tali che la retta $ \displaystyle AB $ non interseca la circonferenza. Preso un punto $ \displaystyle P_0 $ su $ \displaystyle w $, definiamo ricorsivamente una successione di punti $ \displaystyle P_i $ come segue: $ \displaystyle P_{n+1} $ è la seconda intersezione con $ \displaystyle w $ della retta passante per $ \displaystyle B $ e per la seconda intersezione con $ \displaystyle w $ della retta $ \displaystyle AP_n $.
Dimostrare che, se per un qualche $ \displaystyle k $ intero positivo e per un qualche $ \displaystyle P_0 \in w $ si ha che $ \displaystyle P_k=P_0 $, allora questo accade, con lo stesso $ \displaystyle k $, per ogni scelta di $ \displaystyle P_0 $.
2)Sia $ \displaystyle A B C D E F $ un esagono convesso tale che:
$ \displaystyle AD = BC+EF $
$ \displaystyle BE = CD+FA $
$ \displaystyle CF = AB+DE $
Dimostrare che:
$ \displaystyle \frac{AB}{DE} = \frac{EF}{BC} = \frac{CD}{FA} $
3 modificato) Sia $ \displaystyle ABC $ un triangolo con incentro $ \displaystyle I $. Siano $ \displaystyle A_1 $ ed $ \displaystyle A_2 $ punti su $ \displaystyle BC $ tali che $ \displaystyle BI $ è perpendicolare ad $ \displaystyle IA_1 $ e $ \displaystyle CI $ è perpendicolare ad $ \displaystyle IA_2 $. Sia $ \displaystyle A' $ il punto medio dell'arco $ \displaystyle BC $ della circonferenza circoscritta ad $ \displaystyle ABC $ non contenente $ \displaystyle A $. Sia $ \displaystyle A_1' $ l'intersezione tra $ \displaystyle A'A_1 $ e sia $ \displaystyle A_2' $ l'intersezione tra $ \displaystyle A'A_2 $ ed $ \displaystyle AC $. Definiamo in modo analogo i punti $ \displaystyle B_1' $, $ \displaystyle B_2' $, $ \displaystyle C_1' $ e $ \displaystyle C_2' $.
Dimostrare che le rette $ \displaystyle A_1'A_2' $, $ \displaystyle B_1'B_2' $, $ \displaystyle C_1'C_2' $ concorrono.
1) Sia $ \displaystyle w $ una circonferenza e siano $ \displaystyle A, B $ due punti esterni ad $ \displaystyle w $ tali che la retta $ \displaystyle AB $ non interseca la circonferenza. Preso un punto $ \displaystyle P_0 $ su $ \displaystyle w $, definiamo ricorsivamente una successione di punti $ \displaystyle P_i $ come segue: $ \displaystyle P_{n+1} $ è la seconda intersezione con $ \displaystyle w $ della retta passante per $ \displaystyle B $ e per la seconda intersezione con $ \displaystyle w $ della retta $ \displaystyle AP_n $.
Dimostrare che, se per un qualche $ \displaystyle k $ intero positivo e per un qualche $ \displaystyle P_0 \in w $ si ha che $ \displaystyle P_k=P_0 $, allora questo accade, con lo stesso $ \displaystyle k $, per ogni scelta di $ \displaystyle P_0 $.
2)Sia $ \displaystyle A B C D E F $ un esagono convesso tale che:
$ \displaystyle AD = BC+EF $
$ \displaystyle BE = CD+FA $
$ \displaystyle CF = AB+DE $
Dimostrare che:
$ \displaystyle \frac{AB}{DE} = \frac{EF}{BC} = \frac{CD}{FA} $
3 modificato) Sia $ \displaystyle ABC $ un triangolo con incentro $ \displaystyle I $. Siano $ \displaystyle A_1 $ ed $ \displaystyle A_2 $ punti su $ \displaystyle BC $ tali che $ \displaystyle BI $ è perpendicolare ad $ \displaystyle IA_1 $ e $ \displaystyle CI $ è perpendicolare ad $ \displaystyle IA_2 $. Sia $ \displaystyle A' $ il punto medio dell'arco $ \displaystyle BC $ della circonferenza circoscritta ad $ \displaystyle ABC $ non contenente $ \displaystyle A $. Sia $ \displaystyle A_1' $ l'intersezione tra $ \displaystyle A'A_1 $ e sia $ \displaystyle A_2' $ l'intersezione tra $ \displaystyle A'A_2 $ ed $ \displaystyle AC $. Definiamo in modo analogo i punti $ \displaystyle B_1' $, $ \displaystyle B_2' $, $ \displaystyle C_1' $ e $ \displaystyle C_2' $.
Dimostrare che le rette $ \displaystyle A_1'A_2' $, $ \displaystyle B_1'B_2' $, $ \displaystyle C_1'C_2' $ concorrono.
