OliForum Matematico

Ciao!

Sono Marco, ero presente alle ultime olimpiadi a Cesenatico (il riminese con la macchina ;D), se qlc si ricorda.

Oggi mi hanno riportato la simulazione della seconda prova corretta, e ho trovato che la mia soluzione proposta ad un quesito nn era quella giusta. Siccome nn mi hanno proprio convinto, vi ripropongo il quesito per intero sperando in voi che ne sapete d certo più di me.

Quesito:
Si lancia un normale dado a sei facce per 7 volte. Qual è la probabilità che:
- Escano tutti numeri uguali;
- Escano un solo 6;
- Escano tutti i numeri almeno una volta.

Il primo punto è banale, il secondo si risolve tranquillamente con il teorema di Bernoulli e l'ultimo è quello cn cui nn sono d'accordo.

Prima di proporre la mia soluzione vorrei sentire la vostra. E' più che altro per curiosità, visto che il mio voto in ogni caso nn cambia (più di così nn si può, eheh ;D).

Grazie in anticipo
Ciao

c'era una formula complicata che hanno spiegato ai prof mentre facevamo gare...

comunque dovrebbe essere
$ (6*7*6*5*4*3*2)/6^7 $

EDIT: sicuramente sbagliato causa semi-sonno

Secondo me ti sei dimenticato di dividere per 2 infatti quando fai le permutazioni di 7 devi tenere conto del fatto che esattamente 2 numeri sono uguali. Quindi credo che la probabilità sia $ \displaystyle\frac{6*7!}{2*6^7} $

Analogamente possiamo contare i casi favorevoli contando in quanti modi possiamo scegliere le posizioni in cui ci sono 2 numeri uguali e trattarli come se fossero un numero solo quindi moltiplicando per le permutazioni di 6.
La probabilità è $ \displaystyle\frac{\binom{7}{2}6!}{6^7} $ che è analoga alla precedente

eli9o ha scritto:Secondo me ti sei dimenticato di dividere per 2 infatti quando fai le permutazioni di 7 devi tenere conto del fatto che esattamente 2 numeri sono uguali. Quindi credo che la probabilità sia $ \displaystyle\frac{6*7!}{2*6^7} $

...

scusa perchè 7! e non 6! ?

In effetti permutazioni di 7 può essere poco chiaro. Diciamo che sono anagrammi di una parola con 7 lettere di cui esattamente 2 sono uguali. Ad esempio ci sono $ \frac{7!}{2} $ modi di ordinare diversamente le cifre 1 1 2 3 4 5 6. Poi ci sono 6 modi di scegliere la cifra che viene ripetuta quindi i casi favorevoli sono $ \frac{6*7!}{2} $

ma quali sono i risultati?

casi favorevoli:
scelgo la ripetizione in 6 modi e permuto:
$ \displaystyle6\cdot\frac{7!}{2!} $

casi possibili: $ ~6^7 $

probabilità:

$ \displaystyle\frac{3\cdot7!}{6^7} $

Non che io ci abbia pensato molto, ma a me sembra sia $ \binom{7}{2} * 6! / 6^7 $. Scelgo in $ \binom{7}{2} $ modi la coppia di lanci con lo stesso risultato; scelgo in 6! modi l'ordine di uscita dei numeri e infine divido per i casi totali.

Pigkappa ha scritto:scelgo in 6! modi l'ordine di uscita dei numeri

perchè

I due numeri che vengono uguali li conto come una coppia unica. Adesso ho da far uscire tutti e sei le facce del dado in sei lanci, quindi ho 6! modi per ordinarle...

Pigkappa ha scritto:I due numeri che vengono uguali li conto come una coppia unica. Adesso ho da far uscire tutti e sei le facce del dado in sei lanci, quindi ho 6! modi per ordinarle...

no, scusa pig ma non capisco

quando conti i casi possibili tieni conto dell'ordine di uscita. perchè non ne tieni conto anche contando i favorevoli?

Sia F la funzione di "origine"..allora:
$ \displaystyle F(F(\frac{3 \cdot 7!}{6^7})) = F(F(\frac{\binom{7}{2} \cdot 6!}{6^7})) $$ \implies F(\text{salva})=F(\text{pig}) $ $ \implies \text{Carrara}=\text{Carrara} $, and the identity is true

salva90 ha scritto:

Pigkappa ha scritto:perchè non ne tieni conto anche contando i favorevoli?

Ne sto tenendo conto... Chiamiamo A, B, C, D, E, F, G i risultati dei lanci, nell'ordine in cui escono (A è il risultato del primo, B del secondo, eccetera). Abbiamo stabilito che scegliamo in 7 su 2 modi la coppia. Adesso, fissata la coppia, vogliamo i casi favorevoli. Per semplicità supporrò che la coppia sia B, E. Adesso, siccome so che B=E, quando ho fissato B avrò fissato anche E. Perciò mi restano da fissare:

A, B, C, D, F, G

A può essere un numero qualunque da 1 a 6. B può essere un numero qualunque diverso da A. C un numero qualunque diverso da A e B, e così via: 6*5*4*3*2*1 = 6!

Quindi i casi favorevoli sono (7 su 2) * 6!

Mmm i carraresi hanno qualche problema di comunicazione!