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Per ogni $ n \in \mathbb{N} $ risulta:

$ n $ $ \leq ( [\,\sqrt{n}\,] )^2 + 2[ \,\sqrt{n}\, ] $

Dove $ [ \,\sqrt{n} \,] := $ parte intera di $ \sqrt{n} $

Mmmmmmmmm
Possimo scrivere:
$ n=a^2+k $ con $ 0 \leq k \leq 2a $
Per $ k=0 $ la diseguaglianza è banalmente verificata
Per $ k=2a $ dato che $ [\,\sqrt{a^2+2a},]=a $
$ a^2+2a \leq ([\,\sqrt{a^2+2a},])^2+2[\,\sqrt{a^2+2a}]=a^2+2a $
Dato che essa è verificata sia per il valore massimo di k sia per il valore minimo di k essa è valida per ogni k dell'intervallo e quindi la diseguaglianza è sempre valida in $ \mathbb{N} $
Spero di non aver scritto castronerie