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Una sbarra omogenea, sottile e rigida di massa $ M $ è sostenuta da due dischi rotanti i cui assi (di rotazione) sono separati da una distanza fissa $ a $. La sbarra è inizialmente posta in equilibrio asimmetricamente (il suo baricentro è spostato di un certo tratto rispetto al centro della congiungente dei centri).
Supponendo che i dischi ruotino in direzioni opposte e che il coefficiente di attrito (dinamico) tra sbarra e disco sia $ \mu $ dimostrare che la sbarra compie oscillazioni armoniche. Trovare il periodo di queste oscillazioni e l'equazione del moto $ x_{(t)} $ se $ x_0 $ è lo spostamento iniziale.

ci provo: per non confonderla con l'accelerazione pongo la distanza a = L

$ Fx $$ = $$ \mu $$ F' $$ - $$ \mu $$ F'' $$ = $$ Ma $

$ a $$ = $$ (\mu F'-\mu F'') $$ /M $

adesso mettiamo a sistema la somma dei momenti e quella delle forze rispetto all'asse y

$ Fy $$ = $$ F' $$ + $$ F'' $$ - $$ Mg $$ = $$ 0 $

facciamo passare l'asse a $ F' $

$ \tau $$ = $$ F'' $$ a $$ - $$ Mg $$ (a/2+x) $$ = $$ 0 $

risolvendo rispetto a $ F' $ e $ F'' $

$ F' $$ = $$ {Mg(L/2-x)} $$ /L $
$ F''= $$ {Mg(L/2+x)} $$ /L $

sostituendo nell'equazione dell'accelerazione otterremo:

$ a= $$ - $$ {(\mu g)x/L} $

abbiamo dimostrato che si tratta di un moto armonico dato che l'equazione ottenuta è del tipo $ a(t) $$ = $$ - $$ \omega^2 $$ x(t) $

$ T= $$ -2 \pi L $$ /(\mu g) $

il periodo di oscillazione in effetti dovrebbe venire $ T=\pi \displaystyle \sqrt {\frac {2a}{\mu g} $ , la dimostrazione mi sembra giusta.