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Siano dati numeri reali
$ a_1 \geq a_2 \geq \ldots \geq a_n $
$ k_1 \geq k_2 \geq \ldots \geq k_n $
$ h_1 \geq h_2 \geq \ldots \geq h_n $
Tali che
$ \displaystyle \sum_{i=1}^n k_i = \sum_{i=1}^n h_i $
e $ k_i \geq h_i $ per ogni $ i $ da 1 fino a un certo $ m $ e $ k_j \leq h_j $ per ogni $ j $ da $ m+1 $ a $ n $.

Dimostrare che
$ \displaystyle \sum_{i=1}^n k_i a_i \geq \sum_{i=1}^n h_i a_i $

Buon $ lavoro^3 $

EDIT: riviste le ipotesi

Sia $ t_i=k_i-h_i \ \forall i $.
Allora la disuguaglianza diventa $ \displaystyle \sum_{i=1}^n (t_i+h_i)a_i\ge\sum_{i=1}^n h_ia_i $, la quale si semplifica in $ \displaystyle \sum_{i=1}^n t_ia_i\ge0 $.

In base alle ipotesi sappiamo che
$ t_i\ge0 $ per $ i\le m $ e
$ t_i\le0 $ per $ i>m $.

Inoltre $ \displaystyle\sum_{i=1}^n t_i=\sum_{i=1}^nk_i-\sum_{i=1}^nh_i=0 $, dunque $ \displaystyle\sum_{i=1}^m t_i=-\sum_{i=m+1}^n t_i=\sigma $ con $ \sigma\ge0 $.

Spezziamo allora la sommatoria della disuguaglianza in due: $ \displaystyle \sum_{i=1}^n t_ia_i=\sum_{i=1}^m t_ia_i+\sum_{i=m+1}^n t_ia_i $.

La prima sommatoria si minora con $ \sigma a_m $, la seconda con $ -\sigma a_{m+1} $. Il risultato è
$ \displaystyle \sum_{i=1}^n t_ia_i\ge\sigma a_m-\sigma a_{m+1}=\sigma(a_m-a_{m+1}) $
che in virtù dell'ordinamento delle variabili $ a_i $ è una quantità positiva.