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Dimostrare che l'uguaglianza

$ x^2 + y^2 + z^2 = 2xyz $

è valida solo per $ x=y=z=0 $

sono riuscito per

$ \displaystyle x,y,z $

tutti pari, ma non per un pari e due dispari, per cui lo propongo. Dovrebbe essere mooolto facile

allora, sai che almeno uno fra i tre deve essere pari,
cosa succede se poni 2x'=x, come diventa il tuo RHS?

se non ti dovesse bastare

quando la somma di 2 quadrati perfetti è congruo a 0 mod 4 ?

mod_2 ha scritto:allora, sai che almeno uno fra i tre deve essere pari,
cosa succede se poni 2x'=x, come diventa il tuo RHS?

se non ti dovesse bastare

quando la somma di 2 quadrati perfetti è congruo a 0 mod 4 ?

ah la somma di due quadrati è congruo 0 mod 4 quando i due quadrati sono pari... quindi posto uno pari anche gli altri due lo sono

ergo basta dimostrare per tutti e 3 pari

Haile ha scritto:

mod_2 ha scritto:allora, sai che almeno uno fra i tre deve essere pari,
cosa succede se poni 2x'=x, come diventa il tuo RHS?

se non ti dovesse bastare

quando la somma di 2 quadrati perfetti è congruo a 0 mod 4 ?

ah la somma di due quadrati è congruo 0 mod 4 quando i due quadrati sono pari... quindi posto uno pari anche gli altri due lo sono

ergo basta dimostrare per tutti e 3 pari

scusate, come si dimostra che se $ y^2+z^2=0 (mod4) $ allora z e y sono pari?
in realtà basta dimostrare che non esiste un quadrato congruo a 3 mod4, ma non riesco a dimostrarlo...

Stex19 ha scritto: in realtà basta dimostrare che non esiste un quadrato congruo a 3 mod4, ma non riesco a dimostrarlo...

bhe scusa... quanto fa (4k+1)²? e (4k+3)²?

salva90 ha scritto:

Stex19 ha scritto: in realtà basta dimostrare che non esiste un quadrato congruo a 3 mod4, ma non riesco a dimostrarlo...

bhe scusa... quanto fa (4k+1)²? e (4k+3)²?

Dipende da k, se non appartiene a Z sono c***i...



lasciatemi perdere, oggi sono proprio fuso...

Si può fare in un modo semplicissimo, cosi:

dati due numeri qualsiasi $ \displaystyle x,y $

la somma dei quadrati è divisibile per 4?

$ (x^2 + y^2) $

se sono entrambi pari: $ x=2x_1 $ e $ y=2y_1 $

diventa

$ (4x_1^2 + 4y_1^2) $

che ovviamente è diviso da 4

se sono entrambi dispari $ x=2x_1 + 1 $ e $ y=2y_1 + 1 $

quindi

$ (4x_1^2 + 4x_1 + 4y_1^2 + 4y_1 + 2) $

del quale non è divisibile per 4 l'ultimo termine

mentre per un pari ed un dispari diventa $ x=2x_1 $ e $ y=2y_1 + 1 $

quindi

$ (4x_1^2 + 4x_1 + 4y_1^2 + 1) $

che non è divisibile per 4

quindi regge solo per due numeri pari

Chiamare il thread di un problema con il nome del metodo con cui si risolve quel problema è notevole....

Tornando al problema: mi pare che anche edriv abbia fatto una furbata simile, quindi attenti quando scrivete la soluzione: dire che "devono essere tutti e tre pari" non basta...

piever ha scritto:

Chiamare il thread di un problema con il nome del metodo con cui si risolve quel problema è notevole....

Tornando al problema: mi pare che anche edriv abbia fatto una furbata simile, quindi attenti quando scrivete la soluzione: dire che "devono essere tutti e tre pari" non basta...

1) Non sapevo come chiamarlo ç___ç

2) Intendi dire che devi riportare la dimostrazione del fatto che sono tutti pari?

salva90 ha scritto:

Stex19 ha scritto: in realtà basta dimostrare che non esiste un quadrato congruo a 3 mod4, ma non riesco a dimostrarlo...

bhe scusa... quanto fa (4k+1)²? e (4k+3)²?

si... effettivamente era banale...

Haile ha scritto:1) Non sapevo come chiamarlo ç___ç

LOL

Haile ha scritto:2) Intendi dire che devi riportare la dimostrazione del fatto che sono tutti pari?

Intendevo dire che la frase "se x,y,z è una soluzione allora x,y e z sono tutti pari" risolve il problema solo per le equazioni omogenee.

Prendi per esempio: $ x^2=2y $.

Per forza dobbiamo avere che sia x sia y sono pari, ma questa roba di soluzioni ne ha, eccome...

Il punto è che se sostituisci x=2a, y=2b, z=2c nell'equazione di partenza, e poi semplifichi ottieni $ a^2+b^2+c^2=4abc $ che non è l'equazione di partenza.... Questo si aggiusta con una piccola accortezza, però bisogna pensarci un attimo...

piever ha scritto:

Haile ha scritto:1) Non sapevo come chiamarlo ç___ç

LOL

Haile ha scritto:2) Intendi dire che devi riportare la dimostrazione del fatto che sono tutti pari?

Intendevo dire che la frase "se x,y,z è una soluzione allora x,y e z sono tutti pari" risolve il problema solo per le equazioni omogenee.

Prendi per esempio: $ x^2=2y $.

Per forza dobbiamo avere che sia x sia y sono pari, ma questa roba di soluzioni ne ha, eccome...

Il punto è che se sostituisci x=2a, y=2b, z=2c nell'equazione di partenza, e poi semplifichi ottieni $ a^2+b^2+c^2=4abc $ che non è l'equazione di partenza.... Questo si aggiusta con una piccola accortezza, però bisogna pensarci un attimo...

si, ma io non ho riportato la mia dimostrazione ho semplicemente detto che l'avevo già risolto per x,y,z pari

piever ha scritto:Questo si aggiusta con una piccola accortezza

Ehm... sarebbe a dire?

ehm....scusate se mi intrometto ma....come avete fatto a dimostrarlo per x,y,z pari?

consideriamo solo numeri interi e positivi, tanto non si perde di generalita'
se $ $(x,y,z)$ $ e' sol di $ $x^2+y^2+z^2=2xyz$ $, allora e' una terna di numeri pari $ $(x,y,z)=2(a,b,c)$ $, con $ $(a,b,c)$ $ sol di $ $a^2+b^2+c^2=4abc$ $, che e' una terna di numeri pari $ $(a,b,c)=2(l,m,n)$ $, con $ $(l,m,n)$ $ sol di $ $l^2+m^2+n^2=8abc$ $, che e' una terna di numeri pari ...