OliForum Matematico

ciao ragazzi, ho da poco iniziato a studiare dall' Halliday... Posto questo problema perchè non l'ho capito e non riesco a risolverlo anche se mi sembra facile "Una scatola è appoggiata su una bilancia tarata a zero a scatola vuota. Si versa nella scatola da un'altezza h un flusso di biglie, ciascuna di massa m, al ritmo di R biglie al secondo. Gli urti sono completamente anelastici: si suppone che le biglie aderiscano al fondo della scatola senza rimbalzi. Trovare il peso indicato dalla bilancia al tempo t dall'inizio della caduta delle biglie. Calcolare il valore del peso per R=115s^-1, h= 9,62m, m=4,60g e t= 6,50s." Grazie a chi mi vorrà aiutare...

mmm ci provo, ma premetto che se qualcuno confermasse sarebbe meglio

Dato che le biglie partono da ferme il tempo di caduta è

$ $\sqrt{ \frac{2h}{g}}$ $

dove $ $h$ $ è l'altezza e $ $g$ $ l'accelerazione di gravità.

Ponendo $ $t_0$ $ un attimo prima che la prima biglia tocchi la bilancia, avremo che in momento $ $t_n$ $ ci saranno $ $nR$ $ biglie.

Ad esempio in $ $t_2$ $, due secondi dopo che la prima biglia ha toccato la bilancia, ci saranno $ $2R$ $ biglie, visto che ne cadono $ $R$ $ al secondo.

Quindi ponendo $ $x$ $ il numero di biglie nell'istante $ $t_n$ $ si ha

$ $x = R(t_n)$ $

dato che però il problema da come tempo zero il momento nel quale la prima biglia inizia a cadere, l'equazione diventa

$ $x = R \left(t_n - \sqrt{\frac{2h}{g}}\right)$ $

Da notare che se $ $\sqrt{\frac{2h}{g}} > t_n $ $ allora $ $x$ $ è minore di zero, e questo fatto va interpretato come "non ci sono palline nella bilancia".

Per il peso che grava sulla bilancia basta moltiplicare il numero di biglie per la loro massa e per g:

$ $P = m g \cdot \left(R \left(t_n - \sqrt{\frac{2h}{g}}\right)\right)$ $

che esprime il peso segnato dalla bilancia nell'istante $ $t_n$ $.

Per i casi particolari, basta sostituire i dati.

ti ringrazio per avermi risposto il libro però riporta un risultato diverso : P=mgR[radq(2h/g)+t] e quindi numericamente, sostituendo i dati viene P=41,0N.... solo che non riesco a capire perchè....

String ha scritto:ti ringrazio per avermi risposto il libro però riporta un risultato diverso : P=mgR[radq(2h/g)+t] e quindi numericamente, sostituendo i dati viene P=41,0N.... solo che non riesco a capire perchè....

mmm
sicuro che non ci sia un meno nel risultato? Perchè se t zero è quando le biglie cominciano a cadere, a t = zero la bilancia dovrebbe segnare zero, dato che non ha nemmeno una biglia sopra, mentre nel risultato che hai messo tu anche a t = 0 c'è un certo peso.

Per quando riguarda il g nella formula finale, è giusto dato che il peso si misura in N, io l'avevo dimenticato

sicuro che non ci sia un meno nel risultato?

si, sicuro, infatti è proprio questo che non riesco a capire anche se non credo sia sbagliato perchè il risultato numerico corrisponde a quella formula, entrambi riportati dall'Halliday..

a t = zero la bilancia dovrebbe segnare zero, dato che non ha nemmeno una biglia sopra, mentre nel risultato che hai messo tu anche a t = 0 c'è un certo peso.

hai ragione... mah

comunque, per quanto riguarda la formula alla quale sei arrivato, essa fornisce semplicemente al peso delle R*t biglie, invece credo che nell'istante in cui un qualsiasi corpo cade, il peso segnato dalla bilancia sia maggiore rispetto a quello reale... mi sbaglio? Credo quindi che c'entri qualcosa la quantità di moto, altrimenti il problema non sarebbe stato posto in quel capitolo...

String ha scritto:comunque, per quanto riguarda la formula alla quale sei arrivato, essa fornisce semplicemente al peso delle R*t biglie, invece credo che nell'istante in cui un qualsiasi corpo cade, il peso segnato dalla bilancia sia maggiore rispetto a quello reale... mi sbaglio? Credo quindi che c'entri qualcosa la quantità di moto, altrimenti il problema non sarebbe stato posto in quel capitolo...

Forse ho mal interpretato il passo dove dice che si suppone che le biglie aderiscano perfettamente al fondo senza rimbalzi... ma ciò non spiega perchè nel risultato a t zero la bilancia segna un peso maggiore di zero

Teoricamente, se le biglie non rimbalzano, la loro velocità, che appena prima di toccare il piatto della bilancia era gt, dove t è il tempo di caduta, appena toccato il piatto diventa zero, altrimenti avremmo che la bilancia si abbasserebbe lentamente, e quindi si avrebbe che la quantità di moto verrebbe trasferita gradualmente alla bilancia, senza contare che allora dovremmo inserire anche la componente del fatto che ad ogni nuova biglia la bilancia si abbassa un po'...invece, se essa offre una forza vincolare sufficiente a non subire variazioni nella sua posizione (è così che la interpreto), tutta la quantità del moto si trasferisce immediatamente al piatto...senza contare che a t=0 il peso non sarebbe zero...secondo me è una svista dell'Halliday...anche le grandi case editoriali sbagliano ogni tanto

AndBand89 ha scritto:Teoricamente, se le biglie non rimbalzano, la loro velocità, che appena prima di toccare il piatto della bilancia era gt, dove t è il tempo di caduta, appena toccato il piatto diventa zero, altrimenti avremmo che la bilancia si abbasserebbe lentamente, e quindi si avrebbe che la quantità di moto verrebbe trasferita gradualmente alla bilancia, senza contare che allora dovremmo inserire anche la componente del fatto che ad ogni nuova biglia la bilancia si abbassa un po'...invece, se essa offre una forza vincolare sufficiente a non subire variazioni nella sua posizione (è così che la interpreto), tutta la quantità del moto si trasferisce immediatamente al piatto...senza contare che a t=0 il peso non sarebbe zero...secondo me è una svista dell'Halliday...anche le grandi case editoriali sbagliano ogni tanto

Infatti io rimango convinto che il risultato abbia un meno davanti alla radice :twisted:

Per me il risultato è giusto, forse l'esercizio è enunciato un po' male!
E $ t_0 $ è sicuramente il tempo al quale la prima biglia tocca il piatto!

Zoidberg ha scritto:Per me il risultato è giusto, forse l'esercizio è enunciato un po' male!
E $ t_0 $ è sicuramente il tempo al quale la prima biglia tocca il piatto!

Se $ t_0 $ è il tempo al quale la prima biglia tocca il piatto non vedo la necessità di inserire il tempo di caduta nella formula... e poi è detto espressamente che l'istante zero è quando la prima biglia parte da sopra

Si infatti, hanno solo fatto un po' di confusione nel definire l'istante iniziale, per il resto è giusto!

Zoidberg ha scritto:Si infatti, hanno solo fatto un po' di confusione nel definire l'istante iniziale, per il resto è giusto!

Io direi piuttosto che è sbagliato in ogni caso O__o

se t zero è quando cominciano a cadere, la formula dovrebbe (mio parere) avere il meno

Se t zero è quando la prima biglia tocca la bilancia la formula non avrebbe il tempo di caduta e sarebbe

$ $P = mgR(t_n)$ $

quel risultato non funge in ogni caso

Mettiamola cosi...
Te la sentiresti di tenere in mano una palla da bowling?
E te la sentiresti di prendere al volo una palla da bowling lasciata cadere dal sesto piano?
Il fatto è che la forza esercitata dal piatto della bilancia serve in parte a contrastare il peso delle palline già presenti sul piatto e in parte a "far rallentare" quelle che cadono dall'alto!
Se assumi che le palline siano abbastanza da poterle approssimare ad un flusso continuo puoi ottenere il peso registrato dalla bilancia senza grossi problemi!

Zoidberg ha scritto:Mettiamola cosi...
Te la sentiresti di tenere in mano una palla da bowling?
E te la sentiresti di prendere al volo una palla da bowling lasciata cadere dal sesto piano?
Il fatto è che la forza esercitata dal piatto della bilancia serve in parte a contrastare il peso delle palline già presenti sul piatto e in parte a "far rallentare" quelle che cadono dall'alto!
Se assumi che le palline siano abbastanza da poterle approssimare ad un flusso continuo puoi ottenere il peso registrato dalla bilancia senza grossi problemi!

Questo è vero in effetti hai ragione, il testo non è chiaro nel dire in che modo bisogna considerare il flusso e l'urto e se trascurare il movimento della bilancia o no. Ma allora come giustificare il risultato?