OliForum Matematico

Ciao a tutti,

tempo fa frequentavo, oltre che questo forum, anche quello di mathlinks.
Per molte ragioni, non ho piu' avuto modo, negli ultimi tempi, di proseguire in questa bellissima abitudine.

cercando di sistemare un mio account di posta mi sono ritrovato un messaggio che mi rimanda ad private message del forum mathlinks dove
un partecipante del forum (pluricomplex)

mi scrive:

***
Hello

In
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?s ... 19&t=14128

you said that you got an elementary proof of this theorem. Please show me where exactly in the Intalian forum to find the solu.

Thank you
***

Il link citato era questo:

http://olimpiadi.ing.unipi.it/modules.p ... 5&start=20

ma sembra non funzionare piu'.

Qualcuno puo' aiuatrmi ad aiutare pluricomplex?


Ciao

et woilà

Toh, il Lemma delle Cotangenti, ecco dove serviva.
Grazie a Rocco per avermelo riportato alla memoria

tornando sul problema mi è sembrato semplice:

ABCD è il quadrilatero bicentrico con circocentro O e incentro I. L'incerchio tange AB,BC,CD,DA in E,F,G,H. Chiamiamo $ \Gamma $ la crf circoscritta a ABCD e $ \Gamma' $ quella inscritta a ABCD.

-- Fatto noto: preso un quadrilatero ciclico ABCD e $ E:AB \cap CD $, $ F:BC \cap DA $, $ P:AC \cap BD $ allora EF è la polare di P rispetto al circocerchio.

Chiamiamo $ P: AB \cap BD $, $ S: AB \cap CD $, $ T: BC \cap DA $, $ U: EF \cap GH $, $ V: FG \cap HE $.

Per il teorema di Brianchon sull'esagono degenere ABFCDH abbiamo che HF passa per P, ugualmente otteniamo che GE passa per P.

Chiamiamo M il punto medio di HF; abbiamo che UV è la polare di P rispetto a $ \Gamma' $ che è la inversa del circocerchio di IPM rispetto a $ \Gamma' $. Ma allora T sta sulla polare essendo l'inverso di M rispetto a $ \Gamma' $.
Ugualmente anche V sta sulla polare, quindi S, T, U, V sono allineati.

Ma allora $ IP \perp UV $ e $ OP \perp UV $ e quindi I,O,P sono allineati su una retta perpendicolare a ST.