x^2+7=2^n
Uhm, il problema è che di soluzioni non banali ce n'è abbastanza (lo sapevate che 2^15-7=181^2? per fortuna non ce n'è di più grandi...)
Tentativo di dimostrazione:
Pongo x=2a-1, m=n-2 e definisco $ \alpha $ e $ \beta $ come le radici del polinomio $ x^2-x+2=0 $, e la tesi diventa:
$ (a-\alpha )(a-1+\alpha )=2^m $
Quindi, ragionando in $ \mathbb{Z}[\alpha] $ (lo avreste mai detto che è a fattorizzazione unica? oggi è il mio giorno fortunato) abbiamo:
$ (a-\alpha)(a-1+\alpha)=(\alpha )^m(1-\alpha )^m $
Visto che $ \alpha|a-\alpha $ e $ \alpha\nmid a-1+\alpha $ (e similmente per $ 1-\alpha $) abbiamo che $ a-\alpha =(\alpha )^m $ da cui:
$ \displaystyle\frac{(\alpha )^m-(\beta )^m}{\alpha -\beta}=\pm 1 $
Ed ora ci sono due strade possibili: la prima è dire: è un fatto noto che questa cosa non ha soluzioni per m>30
la seconda possibilità è mettersi a smanettare un po' con quella roba e forse si conclude... Per adesso non ci sono riuscito...
Tentativo di dimostrazione:
Pongo x=2a-1, m=n-2 e definisco $ \alpha $ e $ \beta $ come le radici del polinomio $ x^2-x+2=0 $, e la tesi diventa:
$ (a-\alpha )(a-1+\alpha )=2^m $
Quindi, ragionando in $ \mathbb{Z}[\alpha] $ (lo avreste mai detto che è a fattorizzazione unica? oggi è il mio giorno fortunato) abbiamo:
$ (a-\alpha)(a-1+\alpha)=(\alpha )^m(1-\alpha )^m $
Visto che $ \alpha|a-\alpha $ e $ \alpha\nmid a-1+\alpha $ (e similmente per $ 1-\alpha $) abbiamo che $ a-\alpha =(\alpha )^m $ da cui:
$ \displaystyle\frac{(\alpha )^m-(\beta )^m}{\alpha -\beta}=\pm 1 $
Ed ora ci sono due strade possibili: la prima è dire: è un fatto noto che questa cosa non ha soluzioni per m>30
la seconda possibilità è mettersi a smanettare un po' con quella roba e forse si conclude... Per adesso non ci sono riuscito...
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)