OliForum Matematico

mi controllate questo esercizio?
sia T il triangolo (-1,0) (1,0) (0,1), calcolare il momento d'inerzia I di T attorno all'asse x, supponendo costante la densità suprerficiale =1

ho fatto l'integrale doppio su T della funzione y^2 come distanza al quadrato ... il risultato mi viene 1/6

le risposte a disposizione sono: 1/2, 1, 3/2, 2

Ma il momento di inerzia non è un argomento di fisica?...

si, ma essendo collegato alla fisica matematica, lo trovi anche in lez di mate.
io l'ho fatto anche in analisi. E il Brasca "tavole matematiche" ha un capitolo apposito.

rifatto il conto. Per un triangolo rettangolo isoscele di densita' superficiale costante il momento d'inerzia rispetto alla sua ipotenusa (lunga 2a) e'
$ $\frac{1}{6}Ma^2$ $

dato che non mi pare che il "coefficiente" davanti a $ $MR^2$ $ possa essere maggiore di 1 ed e' 1 solo per distribuzioni di massa poste alla stessa distanza dall'asse, la sol sembrerebbe 1/2

(la mia non vuole essere una regola, dato che bisogna stabilire cos'e' R. ma per figure semplici funziona)

Al momento mi sfugge l'utilità dell'integrale doppio
Spulciando dal Demidovič apprendo che la tecnica standard per questo genere di problemi è dividere la figura in masse elementari e poi utilizzare la formula per il momento d'inerzia di un punto materiale di massa M a distanza d dall'asse di rotazione $ $I=Md^2$ $.
Le masse elementari sono i rettangolini orizzontali in cui divido il triangolo la cui massa dm è data da
$ $dm=dy\cdot 2(1-y)$ $
(per il rettangolino posto ad altezza y rispetto all'asse delle x)
e di conseguenza il relativo momento d'inerzia è
$ $dI=y^2 \cdot dm=2y^2(1-y) dy$ $.
Orbene, da ciò discende direttamente il momento d'inerzia totale del triangolo:
$ $I=2 \int _{0}^{1} y^2(1-y) dy=2 \left[\frac{y^3}{3}-\frac{y^4}{4} \right]_{0}^{1}=\frac{1}{6}$ $... ho sbagliato qualcosa?

Saluti
Ob

no dato che il tuo integrale singolo equivale all'integrale doppio
$ $2\int_0^1\int_0^{1-y}y^2\textrm{d}x\textrm{d}y$ $
che e' piu' o meno quello che ho usato

Già! Non ci avevo pensato
SkZ, per curiosità, in quali situazioni si rende utile/necessario l'integrale doppio per i momenti d'inerzia?

per calcolare il momento angolare di un corpo in n-dimensioni ti serve un integrale n-plo.
questo perche' integri $ $\int_Vr^2\rho\textrm{d}V$ $, quindi dipende dal numero di dim del corpo.

Correggimi se sbaglio: serve anche per calcolare il momento d'inerzia di un corpo a densità variabile, non è così?

buono per tutto! Anche sistemi discreti (solo che in questo caso il passaggio da integrale a sommatoria e meglio farlo subito )

ove $ $r^2=(\mathbf{OP}\cdot \mathbf{u})^2$ $, con $ $\mathbf{u}$ $ versore dell'asse di rotazione che passa per l'origine degli assi O

E qui smetto di seguirti...come lo integri un versore?
Già mi sono rotto la testa per cercare di capire la derivata di un versore... una spiegazione semplice, per pietà

P.S. Perchè integri su V? Cosa significa?

si usa il versore per dare una formula matematica di "distanza dall'asse"
il versore non e' altro che un vettore di modulo 1 che mi definisce di conseguenza una direzione e un verso, appunto.
Se l'oggetto a cui fa riferimento, di cui stabilisce l'orientazione, non varia la sua orientazione al variare della variabile di integrazione, si tratta il versore come una costante (visto che non varia).

Si integra sul volume V del corpo. $ $\textrm{d}m=\rho\textrm{d}V$ $ e' la massa infinitesima