OliForum Matematico

Qual'è la somma algebrica dei coefficienti del polinomio

$ (x^{21}+4x^2-3)^{2001}-(x^{21}+4x^2+3)^{667}+x^{21}+4x^2 $

Da una gara di Febbraio. Mi ha fatto penare ma alla fine ce l'ho fatta...

La somma algebrica dei coefficienti è il valore di $ p(x) $ per $ x=1 $ quindi

$ (1^ {21} +4 \cdot 1^2 - 3)^{2001} - (1^{21} + 4 \cdot 1^2 + 3) + 1^{21} + 4 \cdot 1^2 $

$ 2^ {2001} - 8^{667} + 1 +4 $

$ 2^ {2001} = 2^{3 \cdot 667} = 8^{667} $

Quindi la risposta è $ 5 $

Abbiamo che:
$ \displaystyle p(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i} $
La somma algebrica dei coefficienti del polinomio sara' quindi data da p(1).
Sostituendo nel nostro polinomio otteniamo:
$ \displaystyle p(1)=(1+4-3)^{2001}-(1+4+3)^{667}+1+4 \Rightarrow $$ \displaystyle p(1)=2^{2001}-(2^{3})^{667}+5 \Rightarrow $$ \displaystyle p(1)=2^{2001}-2^{2001}+5 \Rightarrow $$ \displaystyle p(1)=5 $

Bye

Alex90 ha scritto:La somma algebrica dei coefficienti è il valore di $ p(x) $ per $ x=1 $

non ho capito bene questo passaggio...me lo potreste spiegare in modo semplice?

$ $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+.....+a_1x+a_0 $
Quindi la somma algebrica dei coefficienti è $ $S=a_n+a_{n-1}+....+a_1+a_0 $
Se pongo $ $x=1 $ in $ $P(x) $ vedo facilmente che $ $P(x)=S $ poichè $ $1^n=1 $per ogni $ $n $

ho capito, grazie, ma quindi la somma algebrica dei coefficienti si ottiene sempre per $ x=1 $ o sbaglio?

ma quindi la somma algebrica dei coefficienti si ottiene sempre per x=1 o sbaglio?

No non sbagli.