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dato il triangolo ABC con $ C\widehat{A}B-A\widehat{B}C=90° $, detti M il punto medio di $ AB $ e $ H $ il piede dell'altezza relativa ad $ AB $, dimostrare che il raggio della circonferenza circoscritta ad $ ABC $ è uguale ad $ HM $

io l'ho risolto in analitica (sprecando mezzo block notes di calcoli)

bestiedda ha scritto:dato il triangolo ABC con $ C\widehat{A}B-A\widehat{B}C=90° $, detti M il punto medio di $ AB $, dimostrare che il raggio della circonferenza circoscritta ad $ ABC $ è uguale ad $ HM $

Probabilmente ti sei dimenticato di definire H come il pede dell'altezza da C

p.s. la perpendicolare da C incontra AB in D, R=a/(2 sin A)=a/(2 cos B) = DB/2 = HM

¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ ha scritto:

bestiedda ha scritto:dato il triangolo ABC con $ C\widehat{A}B-A\widehat{B}C=90° $, detti M il punto medio di $ AB $, dimostrare che il raggio della circonferenza circoscritta ad $ ABC $ è uguale ad $ HM $

Probabilmente ti sei dimenticato di definire H come il pede dell'altezza da C

scusa correggo

Dunque, fammi provare a dare la soluzione (anche se ovviamente sarà sbagliata).
Traccio il segmento passante per A e perpendicolare ad AB e che incontra la circonferenza circoscritta ad ABC in D. DAC = CAB - 90° = ABC
CDA = ABC perchè insistono su AC => CDA = CAD => CA = CD
La perpendicolare ad AD passante per O (centro circonferenza circoscritta) deve essere asse di AD (ADC è inscritto), quindi passa per C dato che ADC è isoscele.
In particolare COM = 90° perchè AD // MO, dato che AD e MO sono perpendicolari ad AB.
A questo punto si può dimostrare abbastanza agevolmente che OMHC è un rettangolo, perchè:
MHC = 90° per ipotesi
OMH = 90° perchè OM è asse di AB
COM = 90° per dimostrazioni precedenti
HCO = 90° per somma angoli interni
OC = HM perchè lati opposti di un triangolo.
Ciao ciao,
Mike

la mia soluzione:

per comodità poniamo M coincidente con l'origine degli assi cartesiani e i punti A di coordinate $ (-k,0) $ e B di coordinate $ (k,0) $. Il punto H giace sull'asse x ed è uguale al valore assoluto dell'ascissa di C. Detto I il centro della circonferenza circoscritta al triangolo, dobbiamo dimostrare che $ |x_c|=IB $. La retta passante per B e C è $ y=m(x-k) $e, poichè la retta passante per A e C è perpendicolare alla simmetrica di quella passante per B e C, abbiamo che il coefficiente angolare $ m' $della seconda retta è uguale al reciproco di $ m $. La retta passante per A e C ha equazione $ \displaystyle y=\frac{1}{m}(x+k) $. Mettendole a sistema si ottengono le coordinate di C $ \displaystyle (\frac{k(m^2+1)}{m^2-1},\frac{2mk}{m^2-1}) $. I giace sull'asse y che è asse del segmento AB, e la sua ordinata è l'ordinata all'origine della retta su cui giace l'asse del segmento BC. Il punto medio X del segmento BC ha coordinate $ \displaystyle (\frac{km^2}{m^2-1},\frac{km}{m^2-1}) $ e l'asse del segmento ha coefficiente angolare uguale all'antireciproco di m perchè perpendicolare alla retta BC. L'ordinata all'origine della retta trovata è $ \displaystyle \frac{2km}{m^2-1} $ ed è uguale all'ordinata di I. Calcolando la distanza tra I e B si ottiene $ \displaystyle \frac{k(m^2+1)}{m^2-1} $ che è effettivamente uguale al valore assoluto dell'ascissa di c

bestiedda ha scritto:la mia soluzione:

per comodità poniamo M coincidente con l'origine degli assi cartesiani e i punti A di coordinate $ (-k,0) $ e B di coordinate $ (k,0) $. Il punto H giace sull'asse x ed è uguale al valore assoluto dell'ascissa di C. Detto I il centro della circonferenza circoscritta al triangolo, dobbiamo dimostrare che $ |x_c|=IB $. La retta passante per B e C è $ y=m(x-k) $e, poichè la retta passante per A e C è perpendicolare alla simmetrica di quella passante per B e C, abbiamo che il coefficiente angolare $ m' $della seconda retta è uguale al reciproco di $ m $. La retta passante per A e C ha equazione $ \displaystyle y=\frac{1}{m}(x+k) $. Mettendole a sistema si ottengono le coordinate di C $ \displaystyle (\frac{k(m^2+1)}{m^2-1},\frac{2mk}{m^2-1}) $. I giace sull'asse y che è asse del segmento AB, e la sua ordinata è l'ordinata all'origine della retta su cui giace l'asse del segmento BC. Il punto medio X del segmento BC ha coordinate $ \displaystyle (\frac{km^2}{m^2-1},\frac{km}{m^2-1}) $ e l'asse del segmento ha coefficiente angolare uguale all'antireciproco di m perchè perpendicolare alla retta BC. L'ordinata all'origine della retta trovata è $ \displaystyle \frac{2km}{m^2-1} $ ed è uguale all'ordinata di I. Calcolando la distanza tra I e B si ottiene $ \displaystyle \frac{k(m^2+1)}{m^2-1} $ che è effettivamente uguale al valore assoluto dell'ascissa di c

una domanda in generale che mi viene guardando il problema:
ma i teoremi di geometria si possono eventualmente risolvere anche con algebra lineare o no?
(questo non l'ho provato ancora a fare, quindi non so se si possa usare qui)

non lo so ma spero proprio di si dato che in euclidea sono negato

Ma si, li puoi dimostrare con qualsiasi mezzo che vuoi (euclidea, analitica, vettori..). Oltretutto l'analitica ha il vantaggio che non può non tornare

EUCLA ha scritto:Oltretutto l'analitica ha il vantaggio che non può non tornare

ha però il limite dei (probabilissimi) errori di calcolo qua e la che ti costringono a rifare tutto da capo

bestiedda ha scritto:ha però il limite dei (probabilissimi) errori di calcolo qua e la che ti costringono a rifare tutto d'accapo

E (per problemi molto complessi) delle equazioni di grado superiore al secondo che in generale non si risolvono semplicemente.

P.S. Occhio!