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C'è qualche differenza tra la norma e il modulo di un vettore o di un numero complesso?

Sì, se con norma intendi quella euclidea, che ad ogni vettore fa corrispondere la sua distanza dall'origine; di norme, però, ce ne sono diverse...

oblomov ha scritto:Sì, se con norma intendi quella euclidea, che ad ogni vettore fa corrispondere la sua distanza dall'origine; di norme, però, ce ne sono diverse...

Boh mi è sorto il dubbio perchè la norma viene indicata con 2 lineette mentre il modulo con una lineetta.
Perchè allora molti dicono che sono la stessa cosa?

La norma è una qualsiasi funzione$ || \cdot || $ di uno spazio vettoriale in $ \mathbb{R} $, che verifica alcune proprietà:
1) $ ||v|| \geq 0 $ e vale l'uguale se e solo se $ v=0 $;
2) $ || \alpha v || = | \alpha| \cdot ||v|| $ $ \forall \alpha \in \mathbb{R} $ o $ \mathbb{C} $;
3) $ ||v+w|| \leq ||v||+||w|| $.

Il modulo in $ \mathbb{R}^n $ o quello in $ \mathbb{C} $ (o anche in $ \mathbb{R} $), non sono che un tipo particolare di norma (quella euclidea appunto) che determina, da un punto di vista geometrico, la distanza dall'origine.

Oblomov ha scritto:Sì, se con norma intendi quella euclidea, che ad ogni vettore fa corrispondere la sua distanza dall'origine; di norme, però, ce ne sono diverse...

ma dire norma o dire modulo non è la stessa cosa?

@Mathomico
Ma che cos'è $ $v $, un vettore?

Come dice Mathomico, la norma euclidea non è che una delle possibili norme.
Per capirci: dato un vettore in $ \mathbb R^n $ (in realtà, come giustamente è stato precisato, possiamo lavorare su qualsiasi spazio vettoriale, ma un esempio "geometrico" è più intuitivo) definito dalle sue coordinate $ (x_1, x_2, ..., x_n) $, la sua norma euclidea è data da $ $\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}$ $, ma nulla vieta di lavorare con altre norme, ad esempio quella definita da $ $\sum _{i=1}^n x_i$ $, che rispetta la definizione di norma.
Tutto questo naturalmente è da prendersi con le pinze visto che non ho una conoscenza così approfondita degli spazi vettoriali

Grazie mille a tutti ho capito.

Oblomov ha scritto:ma nulla vieta di lavorare con altre norme, ad esempio quella definita da $ $\sum _{i=1}^n x_i$ $, che rispetta la definizione di norma.

Quasi: serve un "modulo" , cioè
$ \sum_{i=1}^n |x_i| $ è una norma.

Oblomov ha scritto: Tutto questo naturalmente è da prendersi con le pinze visto che non ho una conoscenza così approfondita degli spazi vettoriali

Perdonato.

@Desmo: sì, $ v $ è un generico vettore dello spazio su cui stai considerando la norma.

Mathomico ha scritto:serve un "modulo"

Piccola dimenticanzuccia