Mathomico ha scritto:Ad esempio, quelli che fanno immersioni sanno benissimo che nel mare la pressione aumenta con la profondità.
direi
Ho assunto che la variazione di pressione dalla cima al fondo fosse trascurabile, date le dimensioni relativamente piccole del finestrino, ma in effetti è una boiata, a quel punto tanto vale assumere che l'acqua non abbia massa
Azzardo una soluzione che tenga conto delle variazioni di pressione (verticali e orizzontali).
Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano con l'asse x coincidente con la base del finestrino e verso positivo nel senso di marcia, l'asse y positivo verso l'alto e l'origine degli assi a metà della base del finestrino. L'equazione del filo dell'acqua sarà $ y=h+\tan(\alpha)x $, dove $ \displaystyle \alpha $ è l'angolo individuato dal filo dell'acqua rispetto all'orizzontale durante l'accelerazione e h è il livello dell'acqua in quiete.
Si ha a questo punto che in un generico punto della base la pressione, secondo la legge di Stevino, varia linearmente con l'altezza della colonna d'acqua che sorregge, ovvero: $ P(x)=\rho g \cdot y(x) = \rho g \cdot (h+\tan(\alpha)x) $. Questo per quanto riguarda la base (y=0). In un generico punto di coordinate $ \displaystyle (x,y) $ la pressione è $ P(x,y)=\rho g \cdot (h+\tan(\alpha)x-y) $.
Come nella soluzione di prima, la forza risultante, che dà all'acqua la stessa accelerazione a del treno, è data dalla differenza delle forze che l'acqua esercita sulle pareti verticali del finestrino (in quanto per il 3° principio della dinamica queste esercitano sull'acqua reazioni uguali e contrarie).
Tali forze sono le stesse che si avrebbero se la pressione, anzichè variare linearmente, fosse (verticalmente) uniforme al valore che ha a metà altezza (si dimostra facilmente).
Si ha quindi, se z è lo spessore del finestrino,
$ ma=F_R=F_1-F_2= $
$ =P(l,\frac{h+l\tan\alpha}{2})\cdot (h+l\tan\alpha)z - P(-l,\frac{h-l\tan\alpha}{2})\cdot (h-l\tan\alpha)z= $
$ =\displaystyle \frac{\rho g z}{2} \cdot ((h+l\tan\alpha)^2-(h-l\tan\alpha)^2)= $
$ = \displaystyle \frac{\rho g z}{2} \cdot (4hl\tan\alpha)= $
$ =\rho g (zh2l) \tan\alpha=\rho V \cdot g\tan\alpha = $ (abbiamo detto che 2l è la misura della base e che h è l'altezza dell'acqua in quiete, perciò il prodotto tra parentesi è il volume dell'acqua)
$ =mg\tan\alpha $.
Riprendendo l'uguaglianza in cima, si conclude
$ a=g\tan\alpha $
che è lo stesso risultato di prima. Mah.