OliForum Matematico

Dato un numero intero positivo $ \displaystyle M $ la cui scrittura decimale è $ \displaystyle a_na_{n-1}...a_0 $ (cioè $ \displaystyle M $ è uguale a $ \displaystyle 10^na_n+...+10a_1+a_0 $ con $ \displaystyle 0 \leq a_o,...,0_n \leq 9 $, sia $ \displaystyle f(M)=a_n+2a_{n-1}+2^2a_{n-2}+...+2^na_0 $ (si intende che se $ M=a_0, f(M)=a_0 $).
1) si determini l'insieme $ \displaystyle X $ di tutti gli interi positivi per cui $ \displaystyle f(M)=M $.
2) Si dimostri che, per ogni intero positivo $ \displaystyle M $, la successione $ \displaystyle M,f(M),f(f(M)),f(f(f(M))),... $ contiene un elemento di $ \displaystyle X $

Il primo punto:

Siccome per $ $M=a_0 $, $ $f(M)=a_0 $ allora tutti gli interi positivi di una sola cifra vanno bene.

Vediamo quelli di due 2 cifre:
$ $M=10a_1+a_0 $
$ $f(M)=a_1+2a_0 $
$ $f(M)=M \Longrightarrow a_1+2a_0=10a_1+a_0 \Longrightarrow 9a_1-a_0=0 $ che ha soluzione $ $a_1=1 $ $ $a_0=9 $ perché $ $a_1 $ non può esere maggiore di 1, altrimenti $ $a_0 $ dovrebbe avere 2 cifre.

Vediamo che cosa succede con i numeri a 3 cifre:
$ $M=100a_2+10a_1+a_0 $
$ $f(M)=a_2+2a_1+4a_0 $
$ $f(M)=M \Longrightarrow a_2+2a_1+4a_0=100a_2+10a_1+a_0 $$ $\Longrightarrow 99a_2+8a_1-3a_0=0 $ che è assurdo perché LHS è strettamente maggiore di 0.

Sembra che con i numeri che hanno un numero di cifre maggiore a 2 non funziona più.
Proviamo a dimostrare questa cosa.
$ $M=10^na_n+10^{n-1}a_{n-1}+...+10^0a_0 $
$ $f(M)=a_n+2a_{n-1}+...+2^na_0 \leq 9+2*9+...+2^n*9= $$ $9(1+2+2^2+...2^n)=9(2^{n+1}-1)= $$ $18*2^n-9<18*2^n<10^n \leq M $

Per il secondo punto sono un pò più insicuro.

Allora, è banale che tutti i numeri appartenenti a X contengono nella loro successione un elemento di X.

Proviamo ora con un numero che non appartiene a X, per esempio 123
$ $f(123)=1+2*2+4*3=17 $
$ $f(f(123))=f(17)=1+2*7=15 $
$ $f(f(f(123)))=f(15)=1+2*5=11 $
$ $f(f(f(f(123))))=f(11)=1+2*1=3 $
$ $f(f(f(f(f(123)))))=f(3)=3 $

Sembra che si riduce sempre a un numero di 1 cifra, infatti al punto 1) abbiamo già dimostrato che $ $f(M) $ è sempre minore di M per tutti i numeri non appartenenti a X, e quindi la succesione $ $M,~ f(M),~ f(f(M))... $ tende a decrescere fino a raggiungere un numero di X.

Funge? Dove ho sbagliato?

C'è solo un buchetto. La dimostrazione del punto 1 funziona solo per n>1, quindi per i numeri di tre o più cifre. Quelli di una cifra sono sistemati perchè appartengono tutti a X. 19 è sistemato. Manca dimostrare che tutti gli altri numeri di due cifre decrescono e non crescono (perchè hai dimostrato che solo 19 rimane costante, degli altri non hai detto nulla)

EDIT Ok ci ho pensato un attimo è una cavolata da sistemare. Dimostriamo che, 19 a parte, $ $f(M)<M $ con M di due cifre.
$ $a_1+2a_0<10a_1+a_0 $
$ $a_0<9a_1 $
Poichè $ a_1\neq0 $, la disuguaglianza è sempre vera, 19 a parte.

rispolvero un problema vecchio......



ma PERCHE' per i numeri di una cifra si ha f(m)=m ?? non dovrebbe essere f(m)=2m ?!?!?!?!



EDIT: mi ha fregato n....credevo che fosse il numero di cifre del numero mentre il numero di cifre è n+1 dato che c'è il termine $ a_0 $

$ 10^0a_0=a_0 $...