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Considerare i numeri nella forma $ 3n^2+n+1 $, dove$ $ n $un intero positivo.

a) Qaul' è il minimo valore che può assumere la somma delle cifre (in base 10) di un numero in questa forma?

b) Può la somma delle cifre essere$ $1999 $, per un certo $ $n $?

il primo punto:

EDIT: spero stavolta sia corretta

la somma delle cifre di un numero è uguale a 1 solo quando il numero è 1 o una potenza di 10. Si verifica facilmente che per $ \displaystyle 3n^2+n+1=1 $ non va bene perchè otteniamo $ \displaystyle n=0 $ e $ \displaystyle n=-\frac{1}{3} $. Quel numero non può essere neanche una potenza di 10 perchè è sempre dispari. Ora, la somma delle cifre di un numero è uguale a due anche se il numero è della forma $ \displaystyle 2\cdot10^k $ con $ $k\geq0 $, e questo caso è da escludere perchè sempre pari. La somma delle cifre di un numero può essere uguale a 2 anche se il numero è della forma $ \displaystyle 10^k+1 $ con $ $k $ positivo. Dunque avremmo $ \displaystyle 3n^2+n+1=10^k+1 $ ovvero $ \displaystyle n(3n+1)=10^k=5^k\cdot2^k $. Poniamo il sistema $ \begin{cases} n=5^a\cdot2^b \\ 3n+1=5^c\cdot2^d\\ \end{cases} $ con $ $a,b,c,d\geq0 $ e $ $a+c=b+d=k $. Moltiplichiamo la prima equazione per 3 e la sottraiamo alla seconda. Otteniamo $ $5^c\cdot2^d-3\cdot5^a\cdot2^b=1 $. Poichè il secondo membro è dispari, allora anche il primo lo deve essere, per cui uno fra $ $b $ e $ $d $ dev'essere uguale a 0.
Per $ $d=0 $ abbiamo $ $5^c-3\cdot5^a\cdot2^b=1 $ da cui $ $c>a $. Raccogliamo a fattore comune ottenendo $ $5^a(5^{c-a}-3\cdot2^b)=1 $ da cui che $ $a=0 $ . Ma allora $ $c=b $ e l'equazione diventa $ $5^c-3\cdot2^c=1 $ che non è mai verificata.
Per $ $b=0 $ abbiamo $ $5^c\cdot2^d-3\cdot5^a=1 $ . Se $ $a<c $ abbiamo $ $5^a(5^{c-a}\cdot2^d-3)=1 $ . Ma allora $ $a=0 $ da cui $ $c=d $ . L'equazione diventa $ $5^c\cdot2^c=4 $ mai verificata. Se invece $ $a>c $ abbiamo $ $5^c(2^d-3\cdot5^{a-c})=1 $. Ma allora $ $c=0 $ , da cui $ $a=d $ . L'equazione diventa $ $2^a-3\cdot5^5=1 $ , mai verificata. Dunque la somma delle cifre è sicuramente maggiore di 2. Ora vediamo se la somma delle cifre può essere uguale a 3. Per il noto criterio di divisibilità, abbiamo che $ \displaystyle 3n^2+n+1 \equiv 0 (mod3) $ e questo è possibile solo per $ \displaystyle n\equiv2(mod3) $. Abbiamo anche che quel numero non deve essere un multiplo di 5, perchè se lo fosse la sua ultima cifra sarebbe 5 e quindi la somma delle cifre sarebbe maggiore di 3. Quel numero non deve essere neanche multiplo di 9 poichè se no avremmo la somma delle cifre multipla di 9 e quindi maggiore di 3. Il numero è multiplo di 5 se $ \displaystyle n\equiv2(mod5) $ ed è multiplo di 9 se $ \displaystyle n\equiv5(mod9) $. Per $ $n=2 $e$ $n=5 $ quindi non va bene. Potrebbe andar bene per $ $n=8 $ poichè verifica tutte le condizioni che abbiamo imposto. Effettivamente, per $ $n=8 $abbiamo che $ \displaystyle 3n^2+n+1=3\cdot64+8+1=201 $

bestiedda ha scritto:Dunque avremmo $ \displaystyle 3n^2+n+1=10^k+1 $ ovvero $ \displaystyle n(3n+1)=10^k $ e questo non è possibile perchè dovremmo avere sia $ $ n $ sia $ \displaystyle 3n+1 $ potenze di 10, assurdo.

E perchè mai dovrebbero essere due potenze di 10? Attenzione, bisogna fattorizzare correttamente $ 10^k $ e cercare di distribuire i fattori in $ n(3n+1) $!!

secondo punto:

se la somma delle cifre di quel numero è $ $1999 $ allora il numero è certamente congruo a 1 modulo 9 per il noto criterio di divisibilità per 9. Quindi $ $3n^2+n $ dev'essere un multiplo di 9. Questo è vero per $ $n $multiplo di 9. Consideriamo ora i multipli di 9 formati da tanti "9" l'uno dopo l'altro. Questi numeri sono della forma $ $10^k-1 $ con $ $k $intero e maggiore di 0. Poniamo $ $n=10^k-1 $ e sostituiamo nella prima equazione: otteniamo $ $3\cdot10^{2k}-5\cdot10^k+3 $. Sappiamo che $ $3\cdot10^{2k} $ha $ $2k+1 $ cifre, delle quali le prime $ $2k $da destra sono zeri e l'ultima è un 3. Allo stesso modo $ $5\cdot10^k $ha $ $k+1 $cifre, delle quali le prime $ $k $ da destra sono zeri e l'ultima è un 5. Se sottraiamo il secondo dal primo otteniamo un numero di $ $2k+1 $cifre, delle quali le prime$ $k $sono 0, la $ $k+1 $esima cifra è un 5, le successive $ $k-1 $ sono dei "9" e l'ultima è un 2. Aggiungendo il 3 dell'equazione precedente otteniamo quindi che la somma delle cifre del numero è $ $9\cdot(k-1)+10 $. Dobbiamo avere quindi che $ $9(k-1)+10=1999 $==>$ $k=222 $. Per $ $n=10^{222}-1 $ abbiamo quindi che la somma delle cifre di $ $3n^2+n+1 $ è 1999

ehm....filano ora le dimostrazioni?