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Trovare tutte le coppie (x, y) di interi positivi tali che
$ \displaystyle x^{x+y}=y^{y-x} $.

PreIMO 2002

Osserviamo che $ $y \geq x $ e che quindi $ $y $ è una potenza di $ $x $. Poniamo dunque $ $y=x^a $ con $ $a $ intero e maggiore o uguale a 0. Sostituendo otteniamo $ \displaystyle x^{x+x^a}=x^{a(x^a-x)} $. Se $ $x=1 $ l'uguaglianza è verificata per ogni $ $a $. Otteniamo quindi la soluzione $ $(1,1) $. In caso contrario dobbiamo avere che $ \displaystyle x+x^a=ax^a-ax $==>$ \displaystyle (a+1)x=x^a(a-1) $==>$ \displaystyle \frac {x^{a-1} \cdot (a-1)}{a+1}=1 $. Notiamo che $ \displaystyle a+1|x^{a-1} $, perchè $ $a+1|a-1 $ solo nei casi $ $a=0 $ e $ $a=1 $ , entrambi non accettabili. Poniamo $ $x^{a-1}=k \cdot (a+1) $ con k naturale. Sostituiamo ottenendo $ \displaystyle \frac {(a+1)k\cdot(a-1)}{a+1}=1 $ . Semplifichiamo e otteniamo $ $k\cdot(a-1)=1 $ , da cui che $ $a=2 $ e $ $k=1 $ . Otteniamo quindi $ $x=3 $ e $ $y=3^2=9 $

Le uniche soluzioni sono quindi $ $(1,1) $ e $ $(3,9) $

Sarà giusto?

EDIT: NON era giusto

no: $ a+1\mid x^{a-1} $ NON implica $ a+1\mid x $.

In alternativa, una volta arrivati a: $ x(a+1)=x^a(a-1) $ l'equazione si può vedere anche in questo modo: $ \frac {a+1}{a-1}=x^{a-1} $ e quindi notare che il primo membro è intero solo per $ a=2 $ o per $ a=3 $: In quest'ultimo caso però verrebbe $ 2=x^2 $ chè è impossibile, invece per il primo caso si ha $ 3=x^1 $ che funziona. Quindi oltre alla soluzione (1,1) c'è solo la soluzione (3,9). Così può andar bene?

grazie, cerco di sistemarlo

Non è una soluzione anche (25,125), ad esempio? Secondo me l'errore sta nel dire che y deve essere una potenza di x.
Ponendo y-x=a, si ottiene x^(2x+a)=(x+a)^a. Svolgendo il secondo membro con il teorema del binomiale, si ottiene che a deve essere un multiplo di x. Essendo y=x+a, sappiamo che anche y è un multiplo di x, ossia y=kx, k>=1.
Sostituendo questo risultato nell'equazione di partenza si dovrebbe arrivare alla soluzione.

nicelbole ha scritto:Non è una soluzione anche (25,125), ad esempio? Secondo me l'errore sta nel dire che y deve essere una potenza di x.
Ponendo y-x=a, si ottiene x^(2x+a)=(x+a)^a. Svolgendo il secondo membro con il teorema del binomiale, si ottiene che a deve essere un multiplo di x. Essendo y=x+a, sappiamo che anche y è un multiplo di x, ossia y=kx, k>=1.
Sostituendo questo risultato nell'equazione di partenza si dovrebbe arrivare alla soluzione.

EDIT: vergogna, ero convinto che $ $25^2=125 $ scusate, oggi non sto facendo altro che errori

bestiedda ha scritto:Per $ (25,125) $ si ottiene $ 25^{25+125}=125^{125-25} $==>$ 25^{150}=25^{200} $

credo che non sia corretto, a me viene che sono uguali:
$ 25^{150}=125^{100} $==>$ 5^{2(150)}=5^{3(100)} $ e quindi $ 5^{300}=5^{300} $ In effetti y deve essere una potenza di x, ma può anche essere che sia x che y siano potenze di un altro numero (in questo caso 5). Mi sto sbagliando?

scusate, ma non riesco a capire perchè $ a $ è intero, visto che è uguale a $ (x+y)/(y-x) $

infatti non e' intero, ma razionale.
La sua appartenenza agli interi si basava su supposizioni errate che sono state confutate negli ultimi post.

però possiamo affermare che $ x|y $, infatti
$ x^x*x^y=y^y/y^x $
$ x^x*y^x=y^y/x^y $
$ (xy)^x=(y/x)^y $
ovviamente $ y/x $ è intero

sostituiamo y a xa
viene
$ (x^2a)^x=(a^a)^x $
$ x^2a=a^a $
$ x^2=a^a-a $
e qui mi blocco...

exodd ha scritto:sostituiamo y a xa
viene
$ (x^2a)^x=(a^a)^x $
$ x^2a=a^a $
$ x^2=a^a-a $
e qui mi blocco...

veramente viene $ x^2=a^{a-1} $

ehm...
cmq guardiamo il lato positivo...
adesso sappiamo che a è dispari e che di conseguenza anche x lo è
quindi potremmo concludere che è vera per qualsiasi y e x tale che
x è radice di $ a^a/a $ con a dispari maggiore o uguale a 1
e che y è radice di$ a^a*a $

(ponendo a=1 viene la soluzione(1,1)
ponendo a=3 viene (3,9)
ponendo a=5 viene (25,125)
.....)

exodd ha scritto:adesso sappiamo che a è dispari e che di conseguenza anche x lo è

perchè a deve essere dispari?