OliForum Matematico

Sia $ P(x) $ un polinomia a coefficienti interi tale che $ P(3) = 5 $.
Se un intero $ n $ ha la proprietà che $ P(n^3)=15 $, quali sono i possibili valori di n?

Sia $ $Q(x)=P(x)-5$ $, allora $ $Q(3)=0$ $ e quindi 3 è una soluzione di $ $Q(x)$ $ che diventa $ $Q(x)=(x-3)r(x)$ $. Sostituendo $ $n^3=x$ $ si ottiene $ $Q(n^3)=(n^3-3)r(n^3)=P(n^3)-5=15-5=10$ $.
Quindi $ $n^3-3$ $ è un divisore di 10 e poichè $ $r(n)$ $ è un polinomio a coefficienti interi, si ha $ $n^3-3=\pm1,\pm2,\pm5,\pm10$ $, che da come uniche soluzioni accettabili $ $n=1$ $ e $ $n=2$ $.
C'è qualche errore?

Ok hai dimostrato che $ n $ può essere solo $ 1 $ o $ 2 $. Ora dovresti mostrare che sono effettivamente "fattibili" cioè che esistano dei polinomi per cui valgano quelle relazioni con $ n=1,2 $.

Ok, molto semplicemente risolvo un sistema lineare.
Pongo per comodità $ $P(x)=ax^2+bx+c$ $ (a me basta trovare un polinomio con tali caratteristiche). Sostituisco $ $x=1, x=8, x=3$ $ e i relativi $ $P(x)$ $ e ottengo
$ \left\{ \begin{array}{rl} 15=a+b+c \\ 15=64a+8b+c \\ 5=9a+3b+c \end{array} \right. $
che da come soluzioni (evito di scrivere anche tutti i calcoli) $ $a=1$ $, $ $b=-9$ $ e $ $c=23$ $.
Forse sto dicendo un'eresia, ma dovrebbero esserci infiniti polinomi di grado maggiore o uguale a 3 con queste proprietà, visto che si introducono altri coefficienti. Faccio un esempio: $ $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ $, allora $ $a,b,c$ $ possono essere espressi in funzione di $ d $ e quindi esistono infinite soluzioni intere.

salve ragazzi sono nuovo del forum... il mio problema è questo:

ho un'equazione polinomiale in tre variabili x, y, z di ottavo grado, questa equazione è molto lunga quindi difficile da manipolare. Sto utilizzando Maple come software di supporto ed ho fatto un plot utilizzando la funzione in forma implicita.

A questo punto io vorrei scrivere la funzione in forma esplicita esplicitando la z.... del tipo z= f(x,y).
Domande:

1) Da qualche parte ho letto che polinomi di grado superiore al 4° non sono esprimibili in forma esplicita; è vero?

2) Se tale operazione è possibile sapreste consigliarmi come fare? oppure consigliarmi qualche fonte che tratta questi argomenti?

Ho notato che gli esponenti della z sono solo pari... cioè compaiono z^8, z^6, z^4, z^2, e termine noto (z^0).

3) Questo significa qualcosa?

Caro ludwig, innanzitutto questo è un forum delle olimpiadi di matematica, e non è rivolto alla matematica in generale. In ogni caso mi sembra che il minimo dell'educazione sia aprire un thread a parte per le proprie domande piuttosto che postare all'interno di una discussione a caso. Ti consiglio di leggere le regole del forum. Per i problemi che non riguardano le olimpiadi, o che non siano in qualche altro modo di interesse per questo forum, puoi provare a cercare aiuto su altri siti come matematicamente.it o scienzematematiche.it.

porgo le mie scuse....