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Siano $ \displaystyle a_1,~a_2,~a_3,~a_4,~a_5 $ le lunghezze dei lati di un pentagono e sia $ \displaystyle p $ il suo perimetro. Si dimostri che
$ \displaystyle \dfrac{7}{p}>\dfrac{1}{p-a_1}+\dfrac{1}{p-a_2}+\dfrac{1}{p-a_3}+\dfrac{1}{p-a_4}+\dfrac{1}{p-a_5} $

Dimostrare inoltre che se $ \displaystyle a_1,~a_2,~...,~a_n $ sono le misure dei lati di un n-agono, allora
$ \displaystyle \dfrac{n+2}{p}>\dfrac{1}{p-a_1}+\dfrac{1}{p-a_2}+...+\dfrac{1}{p-a_n} $

Buon lavoro!

EDIT: Il secondo punto era sbagliato, chiedo scusa a tutte le persone che (come me) hanno perso un pomeriggio cercando di dimostrarlo. Non è la colpa del sottoscritto, era scritta così a pagina 109 delLe Olimpiadi della Matematica II ed. (Speriamo che questa volta non sbaglio )

Ho provato a risolvere il primo punto ma mi sono bloccato...
Pongo $ a=p-a_1 $, $ b=p-a_2 $, $ c=p-a_3 $, $ d=p-a_4 $, $ e=p-a_5 $.
Si nota facilmente che $ a+b+c+d+e=4p $.
Quindi moltiplico entrambi i membri della disequazione per $ a+b+c+d+e $ e quindi diventa
$ 28>(a+b+c+d+e) \cdot \bigg(\displaystyle \frac{1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{c}+\frac {1}{d}+\frac {1}{e}\bigg) $
Per Cauchy-Schwarz si sa che il secondo membro dell'disequazione è $ \ge 25 $ dove l'uguaglianza si verifica se il pentagono è regolare, ma a questo punto come dimostro che è anche < 28 se il pentagono è irregolare? Il procedimento che ho usato può esere valido?

Non ho ancora provato con Cauchy-Schwarz.

La dimostrazione che ho trovato per il primo punto è molto più semplice.

p/(p-a_i)=(p-a_i+a_i)/(p-a_i)

e poi disuguaglianza triangolare

mmm, ho provato a dare una soluzione per un pentagono regolare ma non so se è giusta, per quello non regolare ci sto ancora pensando!!!!!!XD
allora io ho ragionato così:
ho posto a₁=a₂=a₃=a₄=a₅
quindi mi viene

$ \frac{7}{p}>\frac{5}{p-a} $
quindi viene

$ \frac{7}{5a}>\frac{5}{4a} $

moltiplico tutto prima per 5 e poi per 4 e mi viene

$ \frac{28}{a}>\frac{25}{a} $

mmm ecco qui!!!XD però adesso mi son venuti dei dubbi sul fatto che il procedimento e l'intuizione sia giusta!!!!!qualcuno mi dica se quel che ho fatto è giusto!!XD

Corretto il secondo punto, adesso dovrebbe essere giusto.

mmm stavo pensando di dimostrare anche quella dell'n-agono anche se mi sembra tosta come dimostrazione!!!!!!!cmq io ci provo lo stesso, sempre considerando che questo n-agono sia regolare!!!!!
allora vediamo io ho pensato questo:

$ p=na $
$ \frac{n+2}{na}>\frac{n}{na-a} $

siccome poi $ na $ e $ (na-a) $ sono sempre maggiore di 0 e quindi una quantità positiva li ho moltiplicati a sinistra e a destra ottenendo:

$ (n^2+n-2)*a>(n^2)*a $

cioè semplificando la a siccome è sempre maggiore di 0 essendo la lunghezza di ogni lato e facendo un po' di calcoli si ottiene:


$ n-2>0 $

e il che è vero visto che il numero dei lati n è sempre maggiore di 2!!!XD
Non so se i procedimenti son giusti.. quindi controllate voi e ditemi se ho fato giusto!!!!!!!!!XD

Ma lol, inizialmente il testo mi aveva spaventato...

Wlog $ \displaystyle \sum_{i=1}^n{a_i}=1 $. Adesso trasformiamo il testo:

$ \displaystyle n+2 > \sum_{cyc}{\frac{1}{1-a_1}} = \sum_{cyc}{1+\frac{a_1}{1-a_1}} = n + \sum_{cyc}{\frac{a_1}{1-a_1}} $

Perciò vogliamo dimostrare che:

$ \displaystyle 2 > \sum_{cyc}{\frac{a_1}{1-a_1}} $

Adesso wlog sia $ \displaystyle a_1 \geq a_2 \geq ... \geq a_n $. Poichè si tratta di lati di un poligono, $ \displaystyle a_1 < 1/2 $ (la curva più breve che unisce due punti è il segmento). Notiamo che:

$ \displaystyle a_1 < \frac{1}{2} $ implica $ \displaystyle \frac{a_1}{1-a_1} < 2a_1 $ (farsi i conti per crederci).

Da cui infine:

$ \displaystyle \sum_{cyc}{\frac{a_1}{1-a_1}} < \sum_{cyc}{2a_1} = 2 $.

Pigkappa ha scritto: $ \displaystyle a_1 < \frac{1}{2} $ implica $ \displaystyle \frac{a_1}{1-a_1} < 2a_1 $ (farsi i conti per crederci).

Come si dimostra questo fatto?

$ \displaystyle \frac{a}{1-a} < 2a $ equivale a $ \displaystyle \frac{1}{1-a} < 2 $ che equivale a $ \displaystyle 1 < 2-2a $ che equivale a $ \displaystyle a < \frac{1}{2} $

pigkappa ha scritto:Wlog

Wlog=without loss of generality?

Si
Solo che non è lost ma loss

si si pote va anche fare invece di sommatoria $ \frac{n+2}{p}>\frac{\frac{1}{p-a}*(\frac{1}{p-a}+1)}{2} $
cioè usando $ \frac{n*(n+1)}{2} $
che è la stessa cosa che ha scritto poi pigkappa!!!XD looooooooooooool

Pigkappa ha scritto:Ma lol, inizialmente il testo mi aveva spaventato...

Ragazzi mi dovete fare un corso accelerato di di latex!!!!!! e proprio un bell beeeeeeeeeep, visto che ancora non lo so usare!!!!!!!!!!!
Qualcuno mi potrebbe fare la lista dei comandi + importanti???

vhkx481 ha scritto:Ragazzi mi dovete fare un corso accelerato di di latex!!!!!! e proprio un bell beeeeeeeeeep, visto che ancora non lo so usare!!!!!!!!!!!
Qualcuno mi potrebbe fare la lista dei comandi + importanti???

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