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Si possono trovare $ 2008 $ interi positivi distinti minori di $ 10^6 $ tali che nessuna terna è in progressione aritmetica?

che limite esagerato

Allora...
tre numeri $ a, b, c $ sono in progressione aritmetica se $ b=a+r $ e $ c=b+r=a+2r $, dove r è detta ragione della progressione. Senza perdita di generalità possiamo supporre $ a<b<c $ e perciò r è positivo.
Si deve avere che comunque presi tre interi come sopra $ $r_1=b-a\neq c-b=r_2$ $, cioè $ $r_1\neq r_2$ $.
Siano $ $r_1, \ldots,r_n$ $ tutte le differenze tra due qualsiasi numeri dei 2008 scelti: esse devono essere tutte distinte e intere. Poichè possiamo scegliere a piacere gli $ $r_i$ $ ad essi associamo i valori $ 1, \ldots, n $. se chiamiamo $ $a_0$ $ il minimo tra i 2008 numeri scelti, allora il numero massimo è $ $a_0+n$ $ e se poniamo $ $a_0=1$ $ allora si deve avere $ $n+1<10^6$ $.
Ma poichè per ogni coppia di numeri si deve avere un $ $r_i$ $ differente, allora $ n $ corrisponde al numero di coppie, cioè $ ${2008\choose2}$ $ e si ha $ $10^6<\frac{2008\cdot2007}{2}={2008\choose2}=n$ $ e pertanto è impossibile scegliere i 2008 numeri.

Rigel ha scritto:Siano $ $r_1, \ldots,r_n$ $ tutte le differenze tra due qualsiasi numeri dei 2008 scelti: esse devono essere tutte distinte e intere.

non mi è chiaro questo passaggio. Perchè devono essere tutte distinte? ad esempio, se volessi scegliere tra i numeri minori di 10 4 numeri tali che ogni tripletta possibile non sia in progressione aritmetica, posso scegliere 1,3,7,9 e abbiamo che 9-7=3-1 e la condizione imposta dal problema è comunque verificata

perdonatemi se ho scritto idiozie, sono giovane e inesperto

Rigel ha scritto:Siano $ r_1,...r_n $ tutte le differenze tra due qualsiasi numeri dei 2008 scelti: esse devono essere tutte distinte e intere.

bestiedda ha scritto:Perchè devono essere tutte distinte?

Infatti hai ragione l' osservazione di Rigel è sbagliata. Comunque mi soffermerei su quello che ha detto Agi90:

Agi90 ha scritto:che limite esagerato

mmm... qua sul forum dovrebbe capirmi abbastanza gente da non farmi fare la figura dell'idiota, se dico "combinatoria pomeridiana" e un enigmatico "88317"

somiglia tanto a un esercizio della finale di kangarou di quest'anno
incominciamo con 1
1,2,4,8,16,32..
facendo sì che ogni termine sia il precedente raddoppiato
(ovviamente si può fare con qualunque progressione geometrica)
questa serie rispetta le condizioni stabilite, ma non credo che 2 alla 2007 sia minore di 1000000

somiglia tanto a un esercizio della finale di kangarou di quest'anno
incominciamo con 1
1,2,4,8,16,32..
facendo sì che ogni termine sia il precedente raddoppiato
(ovviamente si può fare con qualunque progressione geometrica)
questa serie rispetta le condizioni stabilite, ma non credo che 2 alla 2007 sia minore di 1000000

hint considerare una successione che ha come termini iniziali a_0=1 e a_1=1 e poi a_{n+1} è quel numero che non forma nessuna progressione aritmetica con gli a_i precedenti. Si vede che tutti questi numeri hanno come cifre solo 1 e 0 in base 3.

julio14 ha scritto:mmm... qua sul forum dovrebbe capirmi abbastanza gente da non farmi fare la figura dell'idiota, se dico "combinatoria pomeridiana" e un enigmatico "88317"

julio14 ha scritto:mmm... qua sul forum dovrebbe capirmi abbastanza gente da non farmi fare la figura dell'idiota, se dico "combinatoria pomeridiana" e un enigmatico "88317"

io invece dico 'Arthur Engel'