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Imo 1981/5 Cerchi dentro a un triangolo; c'è collinearità?
Inviato: 07 lug 2008, 21:38
da salva90
Abbiamo un triangolo di circocentro O e incentro I.
Dentro tale triangolo vi sono tre cerchi uguali, ciascuno tangente ad una coppia di lati; sappiamo che tali cerchi passano tutti e tre per uno stesso punto X.
Vogliamo provare che X, I ed O sono allineati
Buon lavoro
Astenersi in maniera assoluta dal rispondere gabriel, ora e per sempre
Inviato: 07 lug 2008, 22:24
da ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
tale punto è circocentro di un triangolo (quello che unisce i centri delle crf che stanno tutti sulle bisettrici) omotetico a quello di partenza con una omotetia centrata nell'incentro, fine.
Re: Imo 1981/5 Cerchi dentro a un triangolo; c'è collinearit
Inviato: 08 lug 2008, 11:17
da salva90
salva90 ha scritto:
Astenersi in maniera assoluta dal rispondere gabriel, ora e per sempre
ma la fai apposta o cosa?
Inviato: 08 lug 2008, 13:14
da ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
si
infondo non vedo perchè te puoi rispondere ai miei problemi con cose che non centrano niente e io non posso rispondere ai tuoi con una soluzione banale
Inviato: 08 lug 2008, 19:05
da salva90
PERCHÈ ANCHE GLI ALTRI UTENTI HANNO IL DIRITTO DI USARE LA SEZIONE GEOMETRIA DEL FORUM SENZA CHE QUALCUNO RISOLVA IN 3 SECONDI OGNI BENEDETTO PROBLEMA
Inviato: 08 lug 2008, 21:06
da Zoidberg
Inviato: 08 lug 2008, 21:15
da pic88
Ma com'è che tutti scrivete "infondo" ?
Inviato: 08 lug 2008, 23:00
da Roy
¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ ha scritto:si
infondo non vedo perchè te puoi rispondere ai miei problemi con cose che non centrano niente e io non posso rispondere ai tuoi con una soluzione banale
W Gabriel
Ti vogliamo a Cesenatico l'anno prossimo,per l'individuale però
Inviato: 09 lug 2008, 00:22
da Zoidberg
pic88 ha scritto:Ma com'è che tutti scrivete "infondo" ?
conseguenze di un anno di matematica?
Inviato: 09 lug 2008, 00:53
da ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
e che c'è di male infondo?
Inviato: 09 lug 2008, 12:10
da salva90
Sottolineo un'ultima cosa.
Regolamento ha scritto:Regola del buon senso: se viene proposto un problema olimpico che sai già risolvere e che è al di sotto del tuo livello, lascia spazio a chi non lo sa fare. Puoi partecipare alla discussione, ma per favore non fiondarti a scrivere la soluzione appena vedi il problema.
Inviato: 09 lug 2008, 16:57
da Agi_90
Perchè come un barbaro ho letto il testo 1 di gabriel convinto di non capire cosa avesse scritto (
), mentre invece al momento di disegnare la figura sono incappato senza volerlo nella stessa identica dimostrazione (per altro fantastica
) la scrivo pulita: non ho niente di meglio da fare.
(il disegno [confusionario] è in fondo).
Chiamiamo $ ~ \bigtriangleup ABC $ il triangolo di riferimento, chiamiamo inoltre $ ~ O_1 $, $ ~ O_2 $, $ ~ O_3 $ i centri delle tre circonferenze. Allora il Triangolo $ ~ \bigtriangleup O_1O_2O_3 $ è simile al triangolo $ ~ \bigtriangleup ABC $. Avremo infatti che le coppie di lati rispettive (del triangolo grande e di quello piccolo) saranno parallele tra loro, questo perchè il raggio delle tre crf è sempre lo stesso. Ma quindi $ ~ X $ sarà il Circocentro di $ ~ \bigtriangleup O_1O_2O_3 $($ ~ X $ è infatti equidistante dai centri delle circonferenze e quindi dai vertici), e $ ~ I $ chiaramente sarà incentro di entrambi i triangoli. Sappiamo che un'omotetia qualsiasi manda le rette che passsano per il centro in se stesse, sappiamo inoltre che esiste sempre un omotetia che manda tre punti in altri tre del piano. Ma quindi l'omotetia centrata in $ ~ I $. che manda $ ~ (O_1, O_2, O_3) \rightarrow (A,B,C) $ manderà $ ~ X $ in $ ~ O $. Ma quindi le rette $ ~ IX $ e $ ~ OI $ coincidono, cioè $ ~ O $, $ ~ I $ e $ ~ X $ sono collineari.
ee fine
Edit: sindrome da esercizi del Senior, corretti tutti i dollariXD