OliForum Matematico

In un triangolo $ ABC $ siano $ X \in \left[BC\right] $, $ Y \in \left[CA\right] $, $ Z \in \left[AB\right] $, tali che $ AZ = BX = CY $ e $ \angle BAX = \angle CBY = \angle ACZ $.
Dimostrare che $ ABC $ è equilatero.

Visto che ormai ci ho provato, chiedo aiuto...

Anche dopo aver notato che il triangolo dentro è simile al triangolo fuori, e che quindi basta dimostrare che due segmentini tra i tanti possibili sono uguali, in trigonometria le cose rimangono veramente orripilanti. Ci assicuri che esiste una soluzione raggiungibile, oppure è uno dei problemi che posti che non si possono risolvere senza venti pagine di calcoli o senza teoremi poco conosciuti?

Perdonate la mia ignoranza, ma con $ X \in \left[BC\right] $ si intende semplicemente che il punto $ X $ appartiene al lato $ BC $, oppure è una notazione per esprimere qualche cosa di particolare?

Si intende, semplicemente, che X sta sul segmento BC ... quindi che è allineato con B e C e sta in mezzo a loro.

Thanks.

@ Gabriel

Se non sbaglio è un quesito pre-IMO per la squadra rumena del 1993. Dato che stra-esula dal mio livello e la curiosità è tanta, se entro fine settimana nessuno riesce ad arrivare alla soluzione, la posti tu?

@ Gabriel

Se non proprio la soluzione, magari un hint?

non credo che sia di un preIMO, chiunque fosse interessato a una soluzioni la trova su mathlinks (qui), però utilizza un po' di analisi e non mi piace...Per la soluzione completamente sintetica ci sono pagine di topic su mathlinks con tentativi mal riusciti

Leggerò la soluzione domani con calma. Mi raccomando, se trovi la soluzione sintetica, illuminaci.


Ho detto preIMO perché ho trovato un problema molto simile (mi pare sia lo stesso, solo battezzato diversamente) quì, a pag. 2 in fondo il prob. 2.