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Non che il problema sia semplice, anzi, ma non è neanche impossibile...

Due bambini stanno facendo una gara a chi riesce a centrare una scatoletta sul pavimento con una biglia sparata da una pistola a molla montata su un tavolo orizzontale. La bocca della canna è allineata col bordo del tavolo. Il bersaglio è piazzato a distanza $ D=2,20 m $ in orizzontale dal bordo del tavolo. Orazio comprime la molla di $ 1,10 cm $, ma il tiro risulta corto di $ 27,0 cm $. Di quanto deve comprimerla Giustina per fare centro? Ignorate gli attriti

Sia $ \Delta x_1=1,10 cm $ e $ \Delta x_2 $ la compressione richiesta.
Voglio trovare la relazione tra la compressione e la distanza percorsa. Considero il tratto che va dal punto di equilibrio della molla al punto di compressione.

Ho che $ \displaystyle F\cdot \Delta x_1=\frac{1}{2}mv^2 $ essendo la velocità al momento del rilascio nulla e $ v $ la velocità al passaggio della biglia dal punto di equilibrio, che è anche il momento 0 del nostro moto parabolico per le ipotesi sulla posizione della canna rispetto al tavolo.

In questo modo ricavo $ \displaystyle v=\sqrt{ \frac{2F\cdot \Delta x_1}{m}} $.

La gittata è data da $ \Delta s_1=vt $

Considerando il sistema:

$ \begin{cases} \displaystyle \frac{v_{fy}-v_{iy}}{t}=g \\ \displaystyle mgh+\frac{1}{2}mv_i^2=\frac{1}{2}mv_f^2 \end{cases} $

Ma $ \displaystyle v_i^2=v_{ix}^2+v_{iy}^2 $ e $ \displaystyle v_f^2=v_{fx}^2+v_{fy}^2 $

Poichè il moto è rettilineo uniforme, sulla direzione dell'asse $ x $ si ha che $ \displaystyle v_{ix}=v_{fx} $. Inoltre, per le ipotesi iniziali $ v_{iy}=0 $.

Andando a sostituire nel sistema, e semplificando si ottiene:

$ \begin{cases} \displaystyle \frac{v_{fy}}{t}=g \\ \displaystyle gh=\frac{1}{2}v_{fy}^2 \end{cases} $

Risolvendo si ricava: $ \displaystyle t=\sqrt{\frac{2h}{g}} $ che non dipende in alcun modo dalla compressione iniziale.

Quindi gittata e velocità sono direttamente proporzionali.

Quindi $ \Delta s_1:v_1=\Delta s_2:v_2 \rightarrow \displaystyle \Delta s_2=\Delta s_1\cdot \frac{v_2}{v_1} $.

$ F=-k\Delta x $ dunque:

$ \displaystyle \frac{v_2}{v_1}=\sqrt{\frac{-2k(\Delta x_2)^2}{m}}\cdot \sqrt{\frac{m}{-2k(\Delta x_1)^2}}=\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1} $

Allora $ \displaystyle \Delta x_2=\Delta s_2 \cdot \frac{\Delta x_1}{\Delta s_1} $.

$ \Delta x_1=1.10 cm, \ \Delta s_1=1.93 m, \ \Delta s_2=2.20 m $ danno $ \Delta x=1.25 cm $.


Bon, io ci ho provato. Per caso è anche giusto?

Giustissimo! Oh, ultimamente la sezione fisica la stiamo animando io e te! Scherzi a parte, o la studio seriamente oppure prendo una botta al test per il Sant'Anna..

Già, se non era giusto neanche questo la pistola a molla la usavo contro di me

S.Anna? Meglio, almeno non siamo rivali

Allora io ho provato in questa direzione..
con la conservazione dell'energia si sa che:

$ \displaystyle \frac{1}{2} ks^2=\frac{1}{2} mv^2 $

da cui:

$ \displaystyle v= \sqrt \frac{k}{m} \cdot s $

dal moto della biglia si ricava che il tempo di caduta (dal tavolo a terra) è:

$ \displaystyle t= \sqrt \frac {2h}{g} $

quindi $ s_1 $ (distanza orizzontale dal tavolo) è:

$ \displaystyle s_1= v \cdot t--->s_1= \sqrt \frac {2hk}{mg} \cdot s $

dove $ s $ è la compressione...

quindi ho notato la diretta proporzionalità tra $ s_1 $ e $ s $

dove $ \displaystyle \sqrt \frac {2hk}{mg} $ è la costante di proporzionalità...

così la compressione del secondo bambino sarà i $ \frac {220}{193} $ di $ 1.10 cm $...cioè $ 1.25 cm $...

come sopra...l'avessi visto prima

Ps...scusate gli edit continui...brutto errore --> $ 220 - 27 = 197 $

questi problemi di meccanica sono molto belli, io l'ho fatto un po' diverso ma il risultato è lo stesso, per l'esattezza 1.254cm

Io l'ho fatto in maniera identica ad Agostino...

EUCLA ha scritto:Già, se non era giusto neanche questo la pistola a molla la usavo contro di me

S.Anna? Meglio, almeno non siamo rivali

Mi sa che sarei stato un rivale poco rivaloso