OliForum Matematico

trovare tutte le a intere sapendo che
$ (a-8)/(2a-3) $
è intero
p.s. più che altro vorrei riportato il ragionamento...

Mi ricorda qualcosa( a-8 ) / (2a-3)=n ==> 2 ( a-8 ) / (2a-3)=2n ==> (2a-3-13) / (2a-3)= 1- 13/(2a-3) =2n ==> 2a-3|13
Dove l'hai trovato? Conticini e i valori di a sono: 2, 1, 8, -5

Sai che $ 2a - 3 | a - 8 $, quindi $ [tex] $2a - 3 | 2a - 3 - (a - = a + 5[/tex].

Il denominatore deve dividere anche la differenza di questi due binomi: $ [tex] $2a - 3 | (a + 5) - (a - = 13[/tex]; ora, i divisori di 13 sono $ \pm 1, \pm 13 $: risolvi le equazioni $ 2a - 3 = \pm 1, 2a - 3 = \pm 13 $ e trovi i valori di a.

Spero che sia giusto.

Metodo alternativo un po' più bruttino: controllato il caso banale $ $a=8 $ sappiamo che dev'essere $ $|2a-3|\le|a-8| $, distinguiamo i tre casi $ $a<\frac32;\frac32<a<8;a>8 $. Nel primo la disuguaglianza ci dà $ $a\ge5 $, controlliamo a manina i casi da -5 a 1 e troviamo le soluzioni -5 e 1, il secondo caso fa diventare la disequazione fra moduli $ $a\le\frac{11}3 $ controlliamo l'unica possibilità 2 e va bene, infine l'ultimo caso dà $ $a\le-5 $ quindi non ha soluzioni. Quindi le uniche soluzioni sono -5,1,2,8.

come stefanos ma piu' semplice
$ $\frac{a-8}{2a-3}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{13}{2a-3}\right)$ $ ergo $ $\frac{13}{2a-3}$ $ deve essere intero dispari, allora $ $2a-3$ $ un divisore di $ $\pm13$ $ (essendo dispari puo' essere solo il prodotto di numeri dispari)

Generalizzone: trovare le soluzioni $ (n;m)\in \mathbb{Z}^2 $ in funzione di a,b,c,d interi tali che $ $n=\frac{am+b}{cm+d} $

ACHTUNG: si puo' riportare il metodo ma nn risolvere il caso generale, in quanto dovremo trovare un metodo generale per trovare tt i divisori di $ b - \frac{ad}{c} $ , e nn credo ke cio' sia possibile.

Beh io intendevo una formula dove ci sia un k e alla fine scritto "con k divisore di blablabla", ovvio che il numero delle soluzioni poi dipende dai parametri (p.s.: più che altro il problema sarebbe il poter far tendere il numero di questi divisori all'infinito e quindi l'avere un po' troppi casi da scrivere)