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Mi gira la testa!
Inviato: 15 lug 2008, 20:08
da salva90
Sia dato un triangolo $ ~A_1A_2A_3 $ e un punto $ ~P_1 $ del piano.
Si consideri $ A_{k}=A_{k-3} $ per $ ~k>3 $.
Per ogni $ ~i $, sia $ ~P_{i+1} $ il punto del piano tale che $ ~\angle P_{i+1}A_{i}P_i=120° $ e $ A_iP_i=A_iP_{i+1} $ (nb: gli angoli sono da considerarsi orientati).
Sapendo che $ ~P_{2008}\equiv P_1 $, provare che $ ~A_1A_2A_3 $ è equilatero.
ps: ho una soluzione, che è istruttiva e spero emerga (magari dalle nuove leve e non dai vecchiacci).
sono però notevolmente interessato alla soluzione sintetica, invito quindi a provare il problema anche se viene già risolto usando metodi non sintetici
Inviato: 15 lug 2008, 23:47
da ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
sicuro che la tesi è vera? 2008 non è multiplo di 3.
Re: Mi gira la testa!
Inviato: 16 lug 2008, 01:11
da Tibor Gallai
salva90 ha scritto:Per ogni $ ~i $, sia $ ~P_{i+1} $ il punto del piano tale che $ ~\angle P_{i+1}A_{i}P_i=120° $
Inviato: 16 lug 2008, 01:20
da Tibor Gallai
¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ ha scritto:sicuro che la tesi è vera? 2008 non è multiplo di 3.
Però 2008-1 è multiplo di 3.
Inviato: 16 lug 2008, 01:37
da ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
lol hai ragione, ero convinto che partisse da $ P_0 $ come quello delle IMO dell' 86
Re: Mi gira la testa!
Inviato: 16 lug 2008, 08:46
da salva90
Tibor Gallai ha scritto:salva90 ha scritto:Per ogni $ ~i $, sia $ ~P_{i+1} $ il punto del piano tale che $ ~\angle P_{i+1}A_{i}P_i=120° $
appunto per quello ho scritto che gli angoli vanno considerati orientati: una volta che lo prendiamo in uno dei versi possibili, dobbiamo prendere sempre in quel verso
Re: Mi gira la testa!
Inviato: 16 lug 2008, 11:13
da Tibor Gallai
salva90 ha scritto:appunto per quello ho scritto che gli angoli vanno considerati orientati: una volta che lo prendiamo in uno dei versi possibili, dobbiamo prendere sempre in quel verso
Infatti quella era un'ambiguità minore (visto che è
comunque un'ambiguità, perché le cose cambiano, e di molto, a seconda che il verso sia concorde o discorde con l'orientazione dei vertici del triangolo).
L'ambiguità macroscopica è che ci sono sempre un'infinità di scelte per $ P_{i+1} $, ma immagino tu voglia $ A_iP_{i+1}=A_iP_i $.
Inviato: 16 lug 2008, 11:43
da salva90
mi ero completamente scordato quel pezzo
chiedo scusa a chi avesse invano cercato di capire il testo
per chiarire definitivamente ogni ambiguità, diciamo che otteniamo $ ~P_{i+1} $ da una rotazione di 120° in senso antiorario di $ ~P_i $ rispetto ad $ ~A_i $
ora
dovrebbe essere tutto chiaro...
scusate ancora
Inviato: 19 lug 2008, 14:21
da ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
HINT ha scritto:la composizione di 3 rotazioni di 120° è una traslazione da cui P_1=P_{1+3k}...