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Altro disquisizione tra me e il signor Halliday, in cui ha evidentemente ragione lui, ma non riesco a capire il perchè. La cosa che mi sorprende è che faccio giusti problemi con tre pallini, poi vado a sbagliare problemi banali e non riesco a capire il perchè.
Un veicolo spaziale, che sta viaggiando alla velocità di $ 4300 km/h $ rispetto alla Terra, espelle il propulsore esaurito con una velocità all'indietro, rispetto al modulo di comando, di $ 82 km/h $. La massa del propulsore è quadrupla di quella del modulo. Qual è, dopo la separazione, la velocità rispetto alla Terra del modulo di comando?

E' semplice conservazione della quantità di modo, ma il mio risultato è 4627,872 km/h, quello dell'Halliday 4400 km/h . Stessa domanda del topic precedente: dove sbaglio?

Parto dall'equazione dei razzi,
$ m a = -u \frac{dm}{dt} $,
dove $ m $ e` la massa del razzo, e $ u $ e` la velocita` del propulsore espulso ($ -u $ perche` va nella direzione opposta rispetto al veicolo);
una forma alternativa e` $ m dv = -u dm $: da questa ottengo $ dv = -u \frac{dm}{m} $. Ora integro da un momento iniziale (a carico pieno) a un momento finale (dopo che ha espulso il propulsore):
$ \int_i^f dv = -u \int_i^f \frac{dm}{m} $, quindi $ v_f = v_i - u \ln\frac{m_f}{m_i} $. Sostituendo i dati del problema, $ v_f = 4300 - 82 \ln(0.2) = 4431.97 $. Non e` proprio esatto, ma e` abbastanza vicino =P

Dimmi se ti serve la dimostrazione dell'equazione dei razzi e della seconda equazione (comunque se non la conosci la puoi trovare da qualche parte online).