OliForum Matematico

Su internet ho trovato questo problemino, per essere bello è bello solo che a spiegarlo senza figura è un casino...sbrigatevi a fare domande se non vi è chiaro perche tra poco devo staccare...
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<BR>E\' dato un triangolo. Su ogni lato viene costruito un quadrato. Sono dati poi altri tre quadrati più esterni ognuno dei quali forma un triangolo con una coppia di quadrati costruiti sui lati del nostro triangolo...ciò che si richiede è quanto vale il rapporto fra le aree dei tre quadrati più esterni e le aree dei quadrati costruiti invece sui lati del triangolo...
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<BR>Si può risolvere sia con la trigonometria che geometricamente solo che quest\'ultima strada è un pochino-ino-ino più difficile dell\'altra...o più fantasiosa, fate voi...

Presumo tu l\'abbia trovato su RM <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

ci hai preso Evariste, e dato che ci sono ri-publicizzo il sito, che poi in sostanza è un giornalino di matematica... www.rudimathemtici.com
<BR>E non andate a vedervi le soluzioni...almeno non prima di aver tentato di risolverlo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

L\'ho risolto una volta in entrambi i modi, credo di riuscire a ricordarmi come si fa.
<BR>Mi pare che c\'entrasse il Teorema della Mediana no?

si, comunque quella è l\'ultima parte...prima c\'è l\'intuizione geniale...

In effetti potresti proprio definirla intuizione geniale...Ma, ti ripeto, l\'ho già risolto, mi par di ricordare.
<BR>Sam.

Sam???
<BR>Allora non posso che farti i miei complimenti, è davvero bella la soluzione geometrica!!!
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Nella soluzione del II problema del msg Geometria di Maus del 10/02 ci stanno alcune considerazioni utili alla soluzione di questo.
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<BR>Si puo\' prova che i lati dei quadrati piu\' grandi sono il doppio delle mediane di ABC.
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<BR>Se 2a, 2b, 2c, m_a, m_b, m_c sono le misure dei lati e delle mediane di ABC si ha che:
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<BR>m_a^2+a^2 = 2(b^2+c^2)
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<BR>m_b^2+b^2 = 2(a^2+c^2)
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<BR>m_c^2+c^2 = 2(b^2+a^2)
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<BR>sommando queste, si ha che:
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<BR>m_a^2+m_b^2+m_c^2=3(a^2+b_2+c^2).
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Suggerimento per la soluzione trigonometrica: ricordate quella vecchia discussione sul teormea del coseno, o di Carnot???
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<BR>X sprmnt: non ho ben capito... secondo quanto hai detto, e cioè \"i lati dei quadrati più grandi sono il doppio delle mediane di ABC\", ponendo A, B,C, i lati dei quadrati più grandi e sostituendo nell\'ultima al posto delle mediane si avrebbe 4(A^2+B^2+C^2)=3(a^2+b^2+c^2) e dunque il rapporto delle aree varrebbe 3/4, ma non può essere perchè, a parte che la sol. è 3, le aree dei quadrati più esterni sono più grandi di quelle dei quadrati più interni....

per \"quadrati piu\' grandi\" intendo proprio i tre quadrati esterni.
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<BR>Nell\'espressione m_a^2+m_b^2+m_c^2=3(a^2+b_2+c^2), (a,b,c) sono le misure dei mezzi-lati. Quindi il rapporto tra sommadei-quadrati-delle-mediane e somma-dei-quadrati-dei-mezzi-lati e\' 3, come pure il rapporto tra le grandezze doppie.
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<BR>per la prova del fatto che le mediane di ABC sono la meta dei lati dei quadrati esterni vedere nela soluzione del II problema del msg Geometria di Maus del 10/02, dove ci stanno alcune considerazioni utili.
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<BR>qual e\' la soluzione ufficiale?
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x Colin: grazie per i complimenti, ma per me la parte più difficile era stata scovare il T. della Mediana <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> . Da quanto leggi RM? Scrivi anche?
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<BR>x sprmnt21 (scritto giusto?): se vuoi chiamarla \"ufficiale\"... cmq l\'idea era di non considerare i quadrati, ma solo i triangoli: quello originario e i 3 delimitati da due quadrati piccoli e uno grande. Se ruoti ognuno dei 3 suddetti di 90° attorno al vertice comune con ABC, ottieni una figura a cui puoi applicare facilmente il teorema della Mediana. Ovviamente le rotazioni devono essere tutte nello stesso senso. Credo che il lato \"carino\" di questa soluzione sia che non implica la conoscenza di alcuna particolare proprietà di quella figura, quale quella che hai citato tu sulla relazione tra mediane e quadrati grandi.

leggo RM più o meno dall\'estate scorsa...credo...comunque anch\'io a suo tempo avevo risolto il problemino, però con la trigonometria e quando ho visto la tua soluzione ci sono rimasto...in effetti se la vedessi oggi per la prima volta forse mi stupirei di meno, ma allora ci rimasi proprio di stucco...cavoli è innegabilmente bella!
<BR>Solo per curiosità...fai le superiori? (Je croix que no, mais...on ne peut pas savoir...)
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<BR>Au revoir
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<BR>(Teo)

Ma certo che faccio le superiori. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> L\'ultimo anno, per la precisione, del liceo scientifico. Ma poco c\'azzecca con la dimostrazione: è stato un colpo di fantasia. E forse la fantasia è l\'unico motivo per cui mi sono lanciato nella matematica, per il resto, sbaglio a fare i conti, non ricordo a memoria i teoremi, confondo le cifre <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> ... Cmq w RM.
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<BR>Ciao (Teo)Colin
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<BR>(Sam)EvaristeG troppi pseudonimi!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">

Ho fatto il teorema di Carnot (a^2= b^2 + c^2 -2*b*c*cosA) tre giorni fa, quindi questo problema mi è venuto parecchio facile, xrò metto la dimostrazione trigonometrica comunque.
<BR>Chiamo i tre lati a, b, c e gli angoli A, B, C. Gli angoli A2, B2, C2 sono quelli con un vertice del triangolo e opposti agli angoli interni del triangoli, e misurano 180-A, 180-B, 180-C (360 - i due angoli retti dei quadrati - l\'angolo interno). I loro coseni sono quindi l\'opposto dei coseni di A, B, C. I quadrati esterni misurano dunque, per il teorema di Carnot, b^2 + c^2 + 2*b*c*cosA e così via. Invertendo il teorema di Carnot esprimiamo gli angoli in funzione dei lati, per esempio cosA=(a^2-b^2-c^2)/2*b*c, e li sostituiamo nell\'espressione della somma delle aree dei quadrati esterni, che risulta essere 3(a^2+b^2+c^2)[addsig]