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Qual'è la probabilità che estraendo due numeri della tombola (che in tutto sono 90) la loro somma dia 56?

Provo a dare la mia prima dimostrazione sul forum (che sarà sicuramente sbagliata, però ci provo..)
I numeri la cui somma dà 56 sono:
$ 1+55;2+54;3+53;...;27+29 $
Sono quindi 27 le coppie di numeri la cui somma dà 56, ma funziona anche se i numeri vengono estratti "al contrario" (cioè prima il 55 poi l'1): quindi ci sono $ 27*2=54 $ possibilità.
La probabilità di estrarre il primo numero è $ \frac{1}{90} $ e quella di estrarre il secondo numero è $ \frac{1}{89} $.
Quindi la probabilità di estrarre due numeri la cui somma dà 56 è
$ \frac{1}{90}*\frac{1}{89}*54=\frac{3}{445} $

Fedecart ha scritto:Qual'è la probabilità che estraendo due numeri della tombola (che in tutto sono 90) la loro somma dia 56?

L'angolo del pignolo: il primo numero estratto viene rimesso dentro o no? (è buona norma specificare)

fede90 ha scritto:

Fedecart ha scritto:Qual'è la probabilità che estraendo due numeri della tombola (che in tutto sono 90) la loro somma dia 56?

L'angolo del pignolo: il primo numero estratto viene rimesso dentro o no? (è buona norma specificare)

io l'ho risolto pensando che il primo numero venisse lasciato fuori...

Va beh, proviamo a risolverlo anche nel caso in cui il primo numero estratto venisse rimesso dentro..
Allora, adesso, le coppie di numeri la cui somma dà 56 non sono più $ 27 $ ma diventano $ 28 $ [si aggiunge la coppia $ 28+28 $(però questa non può essere considerata doppia, quindi le possibilità di estrarre due numeri la cui somma dia 56 sono $ 27*2+1 $].
La probabilità di estrarre il primo numero è $ \displaystyle\frac{1}{90} $ e quella di estrarre il secondo è $ \displaystyle\frac{1}{90} $.
Quindi la probabilità totale è $ \displaystyle\frac{1}{90}*\frac{1}{90}*55=\frac{11}{1620} $

è giusto?? per favore leggetelo e se è sbagliato o spiegato male ditemelo... è la mia prima dimostrazione sul forum..

@ Fede90: Ma da quando si rimettono i numeri nel sacchetto in una tombola???

@ Bellaz: il problema è giusto ma così, per consiglio: se hai già contato i casi favorevoli, è conveniente contare i casi possibili e infine determinare la probabilità attraverso la definizione oppure fai una soluzione utilizzando solo i teoremi di probabilità senza passare al calcolo combinatorio

eli9o ha scritto: @ Bellaz: il problema è giusto ma così, per consiglio: se hai già contato i casi favorevoli, è conveniente contare i casi possibili e infine determinare la probabilità attraverso la definizione oppure fai una soluzione utilizzando solo i teoremi di probabilità senza passare al calcolo combinatorio

Ok, provo a risolverlo utilizzando i consigli di eli9o:
avevo già calcolato che i casi favorevoli erano $ 54 $... Allora, i casi possibili sono $ \displaystyle\left(^{n}_{k}\right)=\frac{90!}{2!*88!}*2=89*90 $. Quindi se $ \displaystyle\ probabilità=\frac{casi favorevoli}{casi possibili} $, allora la probabilità di estrarre due numeri la cui somma dia 56 è $ \displaystyle\frac{54}{8010}=\frac{3}{445} $

Spero sia giusto...

Bellaz ha scritto:

eli9o ha scritto: @ Bellaz: il problema è giusto ma così, per consiglio: se hai già contato i casi favorevoli, è conveniente contare i casi possibili e infine determinare la probabilità attraverso la definizione oppure fai una soluzione utilizzando solo i teoremi di probabilità senza passare al calcolo combinatorio

Ok, provo a risolverlo utilizzando i consigli di eli9o:
avevo già calcolato che i casi favorevoli erano $ 54 $... Allora, i casi possibili sono $ \displaystyle\left(^{n}_{k}\right)=\frac{90!}{2!*88!}*2=89*90 $. Quindi se $ \displaystyle\ probabilità=\frac{casi favorevoli}{casi possibili} $, allora la probabilità di estrarre due numeri la cui somma dia 56 è $ \displaystyle\frac{54}{8010}=\frac{3}{445} $

Spero sia giusto...

dovrebbe essere giusto...

Non vorrei diventare antipatico: il risultato è giusto, c'è da fare solo una precisazione.
Diciamo che quando conti i casi possibili e favorevoli in problemi come questo si hanno 2 possibilità: possiamo fissare un ordine oppure non fissarlo. L'importante è deciderlo prima e fare allo stesso modo per i casi favorevoli e quelli possibili. Quando utilizzi i coefficienti binomiali non fissi l'ordine di estrazione quindi non lo dovresti fare nemmeno nei casi favorevoli.

bellaz ha scritto:i casi possibili sono $ \displaystyle\left(^{n}_{k}\right)=\frac{90!}{2!*88!}*2=89*90 $

Poi tu, giustamente, hai moltiplicato per 2 e in questo modo hai differenziato i possibili ordinamenti quindi il problema risulta giusto.
Però i casi possibili sono $ \displaystyle2\binom{n}{k}=\frac{90!}{2!*88!}*2=89*90 $ che in genere non si indicano così ma sono le disposizioni semplici...

Spero possa esserti utile (dato che è la tua prima dimostrazione)

Ciao

Non diventi antipatico, al contrario... Essere corretti vuol dire imparare cose nuove... Solo una cosa non ho capito.

eli9o ha scritto: Però i casi possibili sono $ \displaystyle2\binom{n}{k}=\frac{90!}{2!*88!}*2=89*90 $ che in genere non si indicano così ma sono le disposizioni semplici...

Cosa vuol dire quello in grassetto?[/u]

fede90 ha scritto:

Fedecart ha scritto:Qual'è la probabilità che estraendo due numeri della tombola (che in tutto sono 90) la loro somma dia 56?

L'angolo del pignolo: il primo numero estratto viene rimesso dentro o no? (è buona norma specificare)

Ti giuro il problema non specificava! Però era a risposta multipla e se lo fai sbagliato l'altra risposta non c'era nemmeno... Quindi hai ragione anche tu ad essere pignolo! Comunque io ho pensato ed indovinato che a tombola il numero pescato non si rimette dentro...! =)

Comunque la risposta numerica che avete dato è giusta, e devo dire che ho anche imparato seguendo tutta l'evoluzione di questa discussione che ho postato! =)

Provo a rispondere a Bellaz, anche se io non sono proprio il più indicato in questo forum a fare lezioni di combinatoria...

Diciamo che noi vogliamo scegliere un certo numero di elementi all'interno di un insieme (in questo caso i numeri da 1 a 90). Vogliamo contare ad esempio quante sono le differenti possibili estrazioni di $ k $ numeri in un insieme di $ n $ numeri.
Se vogliamo considerare differenti le estrazioni che hanno come numeri estratti gli stessi numeri ma in ordine diverso (conta l'ordine) contiamo le disposizioni. Inoltre $ D_{n,k}=n(n-1)...(n-k+1) $. Questo è intuitivo se consideri che il primo numero può essere scelto tra $ n $ numeri, il secondo tra $ n-1 $ e così via.
Se invece vogliamo considerare uguali le estrazioni in cui gli stessi numeri sono stati estratti in ordine diverso (non conta l'ordine) contiamo le combinazioni (oppure i sottoinsiemi di $ k $ elementi di un insieme di $ n $ elementi). Per queste basta dividere il numero delle disposizioni n,k per il numero possibile di ordinamenti che ha una singola k-upla che sono $ k! $. Potrai facilmente verificare che così facendo ottieni la formula per calcolare i coefficienti binomiali.

Spero sia tutto chiaro, altrimenti chiedi e ci sarà qualcuno che ti saprà spiegare meglio di me... Comunque queste cose le trovi tutte in un libro di liceo del triennio.
Ciao

Ok, tutto chiaro... Grazie mille eli9o!!!