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per $ a,b,c $ appartenenti a $ Q $ si ha tale equazione:
$ a^3+2b^3+4c^3=8abc $
bisogna dimostrare che l'unica soluzione è $ a=b=c=0 $
si può scrivere: a>b>c. ciò non influenza la ricerca di soluzioni.
quindi $ a=kb, b=hc, ne segue che a=khc $
sostituendo nell'equazione si ha che:
$ k^3h^3c^3+2h^3c^3+4c^3=8kh^2c^3 $
da cui
$ k^3h^3+2h^3+4=8kh^2 $
raccolgo $ h^3 $ da un membro e dall'altro raccolgo$ 4 $
viene:

$ h^3(k^3+2)=4(2kh^2-1) $

quindi o $ h^3=4 $

o $ k^3+2=4 $

da cui si vede che 4 e 2 devono essere cubi perfetti, il che non è vero
quindi in \Q non vi sono soluzioni tranne la soluzione banale $ a=b=c=0 $

ditemi se il ragionamento potrebbe essere giusto.


EDIT: mannaggia, non riesco ancora ad usare pienamente LaTeX

Perchè si può supporre $ a>b>c $?

EUCLA ha scritto:Perchè si può supporre $ a>b>c $?

mmm già... ho scritto una cazzata... ... ...
però si può comunque supporre, visto che siamo in $ Q $
che $ a $ sia $ kb $ e che $ b $ sia $ hc $ per ogni $ k,h $ appartenenti a $ Q $
ne segue che $ a=khc $

effettivamente la relazione d'ordine non c'entra niente, anzi sarebbe da dimostrare, se fosse vera.

fede90, anche io avevo pensato alla discesa infinita, ma mi aveva frenato il fatto che a,b,c devono appartenere a Q non a Z e quindi non si può parlare di pari o dispari

Ma se noi scrivessimo a, b c come frazioni e moltiplicassimo tutto non otterremo roba da risolvere negli interi?

matteo16 ha scritto:fede90, anche io avevo pensato alla discesa infinita, ma mi aveva frenato il fatto che a,b,c devono appartenere a Q non a Z e quindi non si può parlare di pari o dispari

Infatti il mio messaggio non è durato piu di 30 secondi l'ho eliminato subito dopo avere letto Q... cmq salva90 ha ragione

Ponendo a=m/n, b=p/q, c=r/s, e moltiplicando poi il tutto per (nqs)^3 otteniamo $ $(mqs)^3+2(nps)^2+4(nqr)^3=8 (mqs)(nps)(nqr)$ $ e il gioco è fatto!