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Ecco un'altra coppietta di proprietà dalla non difficile dimostrazione.
1)Chiamiamo $ \tau(n) $ la funzione che associa ad n il numero di divisori di n: si dimostri che $ \sum_{d|n}{\tau^3d} =(\sum_{d|n}{\tau(d)})^2 $ dove d è variabile tra tutti i divisori di n.
2)Chiamando $ \sigma (n) $ la funzione che associa al naturale n la somma di tutti i suoi divisori dimostrare che se $ \sigma(n)=2n+1 $ allora n è un quadrato perfetto.
Per la cronaca: il 2 è un Putnam,ma ciò non vi spaventi, perchè è alquanto innocuo

per cortesia, se hai una soluzione del 2 che non fa uso nè di ordini moltiplicativi nè di fatti derivanti da essi me la manderesti in pm?

comunque entrambi i problemi erano già stati postati (da me ) ma per lasciare spazio alle nuove leve evito di linkarli

Carlein ha scritto:Ecco un'altra coppietta di proprietà dalla non difficile dimostrazione.
1)Chiamiamo $ \tau(n) $ la funzione che associa ad n il numero di divisori di n: si dimostri che $ \sum_{d|n}{\tau^3d} =(\sum_{d|n}{\tau(d)})^2 $ dove d è variabile tra tutti i divisori di n.

qualche anima buona mi potrebbe spiegare questa scrittura?
e poi nella prima sommatoria la funzione $ \tau $ non dovrebbe essere seguito da qualcosa tra parentesi?
scusate l'ignoranza

gian92 ha scritto:e poi nella prima sommatoria la funzione $ \tau $ non dovrebbe essere seguito da qualcosa tra parentesi?

Il pedice $ d|n $ indica che la sommatoria si intende solo sui divisori di n;
Si l'argomento è $ \tau^3(d) $, dai, un po di buon senso..

Up! Dai, non saranno meravigliosi, ma nemmeno da buttare
Da qui in poi non leggere tu ipotetico utente che vorresti provare a risolvere senza hint:


1)quanto fa 1^3+2^3+....n^3?
2)ma quel n sembra così importante per la soluzione, e se invece non lo fosse?c'è qualcosa di più generale e dunque più semplice da osservare....

anche a me aveva ricordato la regola valida per le sommatorie di interi:
$ \sum {n^3}=(\sum {n})^2 $
ma da quello che ho capito li viene diversamente perche con i primi n=1,2,3
viene 1+3+3...
ma sicuramente ho sbagliato a leggere il testo

no vabbeh ho messo n nella sommatoria per dire generica variabile naturale, non mi riferivo al nostro n in particolare....cioè quella sommatoria non va usata "direttamente" sul numero n del testo,ma...(la legislazione degli hint mi impedisce di proseguire )

sisi quello l'avevo capito
ma io il testo dell'es. uno lo ho capito cosi tradotto in linguaggio parlato:
la sommatoria dei cubi del numero dei divisori dei divisori di n è uguale al quadrato della sommatoria del numero dei divisori dei divisori di n.
lo so che è brutto
ma fino a tre-quattrocento anni fa si scrivevano cosi gli enunciati dei teoremi.
è giusto?

EDIT: errore di lettura

difatti è noto che (2)2+1=3

hint 'pesuccio':

entrambi i punti si risolvoon con una comune proprietà di queste funzioni aritmetiche

più di cosi non si può dire

salva90 ha scritto:hint 'pesuccio':

entrambi i punti si risolvoon con una comune proprietà di queste funzioni aritmetiche

più di cosi non si può dire

hint pesuccio?
a mio modesto parere non vuol dire niente!

Dato che ho una soluzione del 2 "che non fa uso nè di ordini moltiplicativi nè di cose derivanti da essa" la metto. Per l'1 penso di esserci arrivato in fondo ma è una roba lunghissima. Bisogna passare dal fatto che le sommatorie sono moltiplicative? (se non si può dire, vabè capitemi)

Ok, basta chiacchere...

Per il punto 2 dimostriamo che se $ n $ non è un quadrato perfetto allora $ \sigma(n)\neq2n+1 $
Se $ n $ è un numero dispari e non è un quadrato perfetto allora ha un numero pari di divisori dispari e pertanto la loro somma sarà pari.
Se $ n $ è pari lo riscriviamo come $ 2^kd $ e distinguiamo 2 casi:
(1) $ d $ non è un quadrato perfetto: allora siccome la funzione $ \sigma $ è moltiplicativa abbiamo che $ \sigma(2^k)\sigma(d) $ è pari in quanto è pari $ \sigma(d) $.
(2) $ d $ è un quadrato perfetto e a questo punto possiamo considerare solo il caso in cui $ k $ è dispari (se fosse pari allora n sarebbe un quadrato perfetto e a noi non interessa cosa fa): sappiamo che $ \sigma(2^k)=2^{k+1}-1 $. Si noti che questo numero è multiplo di 3 infatti scomponendo in differenza di quadrati otteniamo il prodotto di due numeri dispari consecutivi il cui numero pari "che ci sta in mezzo" è una potenza di 2 e quindi non un multiplo di 3 (oppure fai prima con i residui delle potenze di 2 modulo 3).
Quindi abbiamo che $ \sigma(2^k)\sigma(d) $ è multiplo di 3. Verifichiamo che $ 2n+1 $ cioè $ 2^{k+1}d+1 $ non può essere multiplo di 3: infatti $ 2^{k+1} \equiv 1 \pmod 3 $ (e qui i residui ci tocca usarli) e $ d $ non è congruo a 2 modulo 3 in quanto quadrato perfetto. Quindi $ 2n+1 $ non può essere multiplo di 3.

Così abbiamo escluso tutti i numeri che non sono quadrati perfetti e abbiamo concluso la dimostrazione.