OliForum Matematico

Ci sono sei barre, di cui due di lunghezza $ L $ e quattro di lunghezza $ l $, collegate come in figura. Il punto $ P $ si puo` muovere solo orizzontalmente (e quindi anche $ Q $).

Definiti $ r_Q := OQ, r_P := OP $,
a. dimostrare che $ r_Q \cdot r_P = L^2 - l^2 $ (eh si`, e` incredibile che ci sia uno strumento che applica l'inversione nel mondo reale );
b. trovare il rapporto delle velocita` dei punti $ P, Q $.

[Hartog, "Mechanics"]

Il primo punto: chiamo D la diagonale maggiore del rombo formato dalle quattro barre di lunghezza $ l $ e d la diagonale minore. Quindi:
$ r_Q=\sqrt {\displaystyle L^2-\frac {1}{4}D^2}+ \displaystyle \frac {1}{2}d $ e
$ r_P=\sqrt {\displaystyle L^2-\frac {1}{4}D^2}- \displaystyle \frac {1}{2}d $.
Moltiplicando membro a membro si ha:
$ r_Q\cdot r_P=L^2-\displaystyle \frac {1}{4}D^2-\frac {1}{4}d^2=L^2-l^2 $
Il secondo punto invece non l'ho capito, forse perchè non ho capito neanche cos'è, come funzione e a cosa serve questo inversore di Peaucellier...

Non e` importante sapere cosa faccia (converte il moto circolare in moto rettilineo): dalla prima relazione ricavi una delle distanze (per esempio $ r_Q $) in funzione dell'altra, poi calcoli $ \dot{r_Q} $, e dividi per $ \dot{r_P} $.

$ $r_P r_Q=cost$ $ allora
$ $\dot{r}_P r_Q+r_P \dot{r}_Q=0$ $,
$ $\frac{\dot{r}_P}{ \dot{r}_Q}=-\frac{r_P}{r_Q}$ $

Esatto, e quindi, esprimendo il rapporto in funzione di una sola delle distanze,
$ \frac{\dot{r}_P}{\dot{r}_Q} = -\frac{L^2 - l^2}{r_Q^2} $.