darkcrystal ha scritto:
$ n $ è della forma $ 2 \cdot d $ con d dispari; allora $ \displaystyle \frac{n^5-n}{60}=\frac{f}{2} $ con f ancora dispari, per cui le coppie che vanno bene sono $ (q^2,2d) $;
$ n $ è di qualunque altra forma: allora $ \displaystyle \frac{n^5-n}{60} $ è intero, per cui qualunque m va bene: $ (m, n) $ con $ v_2(n) \neq 1 $
Secondo me la soluzione è:
$ (p,1+2t) $ unito $ (p, 4t) $ con $ p $, $ t $ interi;
$ (p^q,t) $ con $ p $, $ q $, $ t $ interi e $ q $ divisore pari di $ 60 $
Infatti vediamo il numero
$ \displaystyle m^{\frac{(n^5-n)}{60}} $
1)
Poniamo $ m $ intero...
occorre che l'esponente sia un numero intero e quindi che
$ n^5 - n = 60\cdot k $ e quindi $ n(n-1)(n+1)(n^2+1) = 2^2\cdot3\cdot5\cdot k $.
E' vero che $ n^5 - n \equiv 0 \pmod {15} $, ma occorre, per soddisfare l'uguaglianza, che
$ n^5 - n \equiv 0 \pmod 4 $...
Se $ n $ è pari, ma non multiplo di $ 4 $, vediamo dalla scomposizione che $ n^5 - n $ è sì pari, ma non divisibile per $ 4 $ e dunque l'uguaglianza è sempre falsa...
Se $ n $ è dispari allora $ n+1 $ è pari, così come $ n-1 $, che significa che l'uguaglianza è sempre verificata.
Questo dà luogo alla prima soluzione con $ m $ intero qualunque:
$ (p,1+2t) $ ($ n $ dispari) e $ (p,4t) $ ($ n $ multiplo di $ 4 $)...
2)
Sia $ m $ intero esprimibile nella forma $ p^q $ con $ p $ intero e $ q $ intero pari e divisore di $ 60 $...
Quesa scelta di $ q $ comporta un cambiamento nell'equazione:
$ n(n-1)(n+1)(n^2+1) = 30 \cdot k = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot k $...
(parentesi necessaria... ho messo $ 30 $ come esempio, ma l'importante è che vada via almeno un fattore $ 2 $)
A questo punto è sufficiente un solo coefficiente pari a sinistra, che si ha sia che $ n $ sia pari ($ n $ stesso), sia che $ n $ sia dispari ($ n\pm1 $)...
Perchè $ q $ dev'essere divisore di $ 60 $?
$ m=p^q $ dunque si ha $ p^{\frac{q}{60} \cdot (n^5-n)} $...
quindi ora $ n^5 - n = \frac{60}{q} $...
se $ q $ non fosse divisore di $ 60 $ a destra avremmo un numero non intero e a sinistra un intero dato che $ n $ deve essere intero da richiesta...
Quindi la seconda parte della soluzione è proprio:
$ (p^q,t) $ con $ p $, $ q $, $ t $ interi con $ q $ pari è divisore di $ 60 $...
Alla fine era meno scontato di quanto sembrava!!!
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