Pagina 1 di 1
Finisce tutto in una bolla di sapone
Inviato: 25 lug 2008, 15:06
da darkcrystal
Dimostrare che la differenza di pressione tra l'interno e l'esterno di una bolla di raggio $ r $ è $ \displaystyle \frac{4 \gamma}{r} $, dove $ \displaystyle \gamma $ è la tensione superficiale del liquido di cui è composta la bolla.
Buon divertimento con le bolle di sapone!
Inviato: 25 lug 2008, 22:08
da EUCLA
Innanzitutto, grazie che ho imparato che cos'è la
tensione superficiale .
Avverto che però il risultato non è esattamente lo stesso.
Quindi $ \displaystyle \gamma =\frac{L}{A} $ dove $ A $ è la superficie interessata dallo spostamento $ ds $.
Sia $ p_i $ la pressione interna alla bolla.
La pressione interna tende a far dilatar la bolla, aumentandone il raggio.
Il lavoro corrispondente è $ L_i=\displaystyle \int F \ dr=\int p_iA \ dr $ dove $ A $ è la superficie interessata.
$ L_i=p_i4\pi r^3\rightarrow p_i=\displaystyle \frac{L_i}{4\pi r^2}\cdot \frac{1}{r}=\frac{\gamma}{r} $.
Analogamente $ \displaystyle L_e=p_e4\pi r^3 \rightarrow p_e=-\displaystyle \frac{\gamma}{r} $ (le forze agiscono sulla bolla in direzioni opposte).
Da qui ricavo $ \Delta p=\displaystyle \frac{2\gamma}{r} $.
Dove sbaglio?
Uff, non sarò mai un buon fisico, non sono neanche riuscita a far tornare il risultato..
Comunque, bel problema!
Inviato: 26 lug 2008, 00:51
da ico1989
Cosa stupenda
Brava EUCLA, bella dimostrazione
Comunque il risultato si trova con wikipedia
Inviato: 26 lug 2008, 01:10
da ico1989
ico1989 ha scritto:Comunque il risultato si trova con wikipedia
D'altra parte, wikipedia dice così:
$ $\Delta P=\gamma \frac{dA}{dV}$ $
Se la interpreto bene, nel nostro caso sarebbe:
$ $\Delta P=\gamma \frac{d(4\pi r^2, r)}{d(\frac{4}{3}\pi r^3, r)} = \frac{2\gamma}{r}$ $
Sbaglio?
Inviato: 27 lug 2008, 12:48
da darkcrystal
Mi scuso per non aver risposto prima, ma sono riuscito a prendermi un'influenza con i fiocchi al 25 di luglio
Comunque, le formule di wikipedia sono per le superfici, mentre l'Halliday - poco prima di proporre quel problema - dice chiaramente che una bolla, per quanto sottile, non ha una superficie sola ma due, e quindi il risultato va raddoppiato
In secondo luogo mi sfugge un passaggio nella dimostrazione di Eucla: quando integri $ \displaystyle \int p_iA dr = \int 4 \pi r^2 p_i dr $ stai considerando $ p_i $ come una costante? Perchè in questo caso il risultato dovrebbe essere - sempre che io non sia annebbiato dai bacilli dell'influenza - $ \displaystyle \frac{4\pi r^3}{3} p_i $, o no?
Comunque grazie della risposta (io onestamente il problema non ho mica ancora capito come si faccia!), ciau!!
Inviato: 27 lug 2008, 13:50
da EUCLA
Ora che mi ci fai pensare non sono né sicura del fatto che $ p_i $ sia costante.. né quindi che il risultato dell'integrale sia quello...facciamo che mi rivedo la dimostrazione va
Inviato: 27 lug 2008, 15:38
da EUCLA
Sisì, torna!
$ L=\displaystyle \int F \ dr=\int p_iA \ dr $.
Allo stesso tempo la def di tensione superficiale ci dice che $ L=\displaystyle \int \gamma dA $
Dall'uguaglianza di $ L $ ricavo: $ \displaystyle p_i\frac{dV}{dr}=\gamma \frac{dA}{dr} $ da cui $ p_i=\displaystyle \gamma \frac{8\pi r}{4\pi r}=\frac{2\gamma}{r} $.
In modulo, ricavo analogamente $ p_e=\displaystyle \frac{2\gamma}{r} $.
Da cui $ \Delta p=\displaystyle \frac{4\gamma}{r} $ perchè le forze che agiscono a causa della pressione hanno verso opposto.
p.s. secondo me l'influenza è un residuo della baldoria ispanica
Ciao!
Inviato: 30 lug 2008, 13:50
da darkcrystal
Baldoria? Io? Ma quando mai
Comunque per il problema ok, mi pare che ora torni perfettamente!
Inviato: 31 lug 2008, 09:34
da Bacco
C'è anche il "metodo della fettina", utile in svariate occasioni: ricordando la definizione operativa di tensione superficiale $ dF=\gamma dl $, si prende una fettina della sfera (cioè una calotta) tale che la circonferenza intercettata sia di raggio $ R*sen\theta $; si calcola la forza risultante nella direzione radiale e si divide per l'area della calotta (tutto nel limite di $ \theta $ piccolo), viene $ 2\gamma / r $ da raddoppiare per il discorso della doppia superficie.
ciao