OliForum Matematico

Consiglio a chi non si sente troppo forte di cimentarsi, è abbordabile

Considerato un trapezio qualsiasi, siano $ $a$ $ e $ $b$ $ le lunghezze delle basi, con $ $a>b$ $.
Sia inoltre $ $M$ $ il punto medio del lato obliquo $ $AD$ $ e $ $N$ $ il punto medio dell'altro lato obliquo, $ $BC$ $.

Provare che
$ $\text{Area}(ABNM)>2\text{Area}(MNCD)$ $
se e solo se
$ $a>5b$ $

Ciao.

Allora, calcolo le aree dei trapezi $ ABNM, MNCD $.

Si nota facilmente che la lunghezza di $ MN $ e` la media aritmetica di $ a, b $; inoltre, l'altezza dei due trapezi e` meta` dell'altezza del trapezio $ ABCD $, che chiamiamo $ h $.

Ora, l'area del primo e` $ \frac{\left(\frac{a + b}{2} + a\right) \cdot \frac{h}{2}}{2} = \frac{(3a + b) \cdot h}{8} $. Analogamente, l'area dell'altro trapezio e` $ \frac{(a + 3b) \cdot h}{8} $. Sostituiamo queste espressioni nella disequazione, e otteniamo $ a > 5b $.

E` giusto?

Sì, certo.

stefanos ha scritto:
Si nota facilmente che la lunghezza di $ MN $ e` la media aritmetica di $ a, b $;

Domanda: questo come dimostri? Considerando il triangolo equivalente al trapezio?

Traccia $ MN $, poi traccia le perpendicolari alla base minore passanti per i vertici: si creano un po' di triangoli congruenti (simili + stessa altezza). Ora calcola la lunghezza di $ MN $: e` $ b + \frac{a - b}{2} = \frac{a + b}{2} $. Ti torna?

stefanos ha scritto:Traccia $ MN $, poi traccia le perpendicolari alla base minore passanti per i vertici: si creano un po' di triangoli congruenti (simili + stessa altezza). Ora calcola la lunghezza di $ MN $: e` $ b + \frac{a - b}{2} = \frac{a + b}{2} $. Ti torna?

Sisi grazie...approfitti quindi anche del teorema delle rette parallele...io invece l'avevo dimostrato considerando il triangolo equivalente...

Si può anche semplicemente "raddoppiare" il trapezio, ottenendo un parallelogramma fatto da due trapezi accostati e capovolti.

E' immediato che
$ $2MN=a+b$ $

Oppure si traccia una diagonale del trapezio e si dimostra con Talete che MN viene diviso in due parti, una pari alla metà della base maggiore e una pari alla metà della base minore.