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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da publiosulpicio
Per la gioia di chi volesse provare ad entrare alla normale propongo un altro problema dell\'esame d\'ammissione di non so più che anno, che tra l\'altro mi ha fatto penare non poco:
<BR>Dimostrache per per ogni intero n maggiore o uguale a 2 si ha:
<BR>( n! ) ^ ( 1/n ) < ( n + 1 )/2
<BR>e che il secondo membro della disuguaglianza non è mai un multiplo intero del primo.
<BR>Ah, ora mi ricordo era del 1991.
<BR>Buona fortuna!
<BR>ps: io ho fatto una fatica che la metà bastava e un ragionamento che non finiva più... la loro soluzione dura mezza pagina! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Squirtledgl
( n! ) ^ ( 1/n ) < ( n + 1 )/2
<BR>
<BR>Prima di perdere il cervello su cose sbagliate:
<BR>
<BR>n! che vuol dire???
<BR>^ significa elevato alla giusto? Quindi è (n!) alla (1/n) < (n+1)/2
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da acarus
Salve, Squirtledgl (poi magari spieghi un po\' a tutti che significa...)
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR> dunque: n! si legge n fattoriale ed è tale che:
<BR>
<BR>n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*...*1
<BR>
<BR>Modifico per mettere pure un esempio: 7! = 5040 = (7*6*5*4*3*2*1)
<BR>Ciao <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: acarus il 26-02-2003 16:08 ]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da lordgauss
Ok, sono un bastardo. Ma i problemi se no si accumulano...
<BR>
<BR>(n+1)/2 = (1+2+...+n)/n > n!^(1/n), ove ho applicato la AM-GM e il fatto che 1 è diverso da 2. Eh eh
<BR>
<BR>Poniamo (n+1) = 2k(n!^(1/n)), ovvero (n+1)^n = (2k)^n*n! e spiegatemi come fa n>1 a dividere n+1.
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Wilddiamond
<IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da psion_metacreativo
Poniamo (n+1) = 2k(n!^(1/n)), ovvero (n+1)^n = (2k)^n*n! e spiegatemi come fa n>1 a dividere n+1.
<BR>
<BR>Mi sfugge il senso di questa frase.... Illuminatemi x favore...
<BR>
<BR>
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da lordgauss
<!-- BBCode Start --><I>Supponiamo che il secondo membro sia un multiplo intero del primo</I><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>Poniamo (n+1) = 2k(n!^(1/n)), ovvero (n+1)^n = (2k)^n*n! <!-- BBCode Start --><I>[elevo alla n]</I><!-- BBCode End --> e spiegatemi come fa n>1 a dividere n+1 <!-- BBCode Start --><I>[è impossibile, poichè MCD(n,n+1) = 1]</I><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>Ecco, ci metto anche le miniature o può bastare così?
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da massiminozippy
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-02-26 16:14, lordgauss wrote:
<BR>Ok, sono un bastardo. Ma i problemi se no si accumulano...
<BR>
<BR>(n+1)/2 = (1+2+...+n)/n > n!^(1/n), ove ho applicato la AM-GM e il fatto che 1 è diverso da 2. Eh eh
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Cosa è la AM-GM?
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Biagio
si risolve anche utilizzando l\'induzione:
<BR>-per il primo termine (2) la disuguaglianza vale.
<BR>-per n+1 la diseq. diventa
<BR> (n+1)n!<((n+2)/2)^(n+1)
<BR> da cui n!<(((n+2)/2)^(n+1))/(n+1)
<BR> ora si confronta (((n+2)/2)^(n+1))/(n+1) con ((n+1)/2)^n
<BR> e si nota che la prima espressione è superiore alla seconda, dunque se la disequazione vale per n, vale anche per n+1(la disequazione infatti si è rafforzata).
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Azarus
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-02-26 18:15, massiminozippy wrote:
<BR>
<BR>Cosa è la AM-GM?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>stanno per media aritmetica e media geometrica.
<BR>vale la diseguaglianza MA>=MG
<BR>
<BR>la media aritmetica di n numeri è la loro somma diviso n,
<BR>la media geometrica la radice quadrata del loro prodotto.
<BR>chiaramente l\'uguaglianza vale solo se tutti gli n numeri sono uguali.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Azarus il 26-02-2003 20:59 ]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da DD
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>la media geometrica la radice quadrata del loro prodotto.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>n-esima
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Israfel_FMD
cazzo, siete troppo veloci, speravo di farcela a postare la dimostrazione x induzione... va bè, sarà x il prossimo.
<BR>aggiungo che con la dimostrazione per induzione si ha il vantaggio di mostrare anche che il \"dislivello\" cresce all\'aumentare di n...