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determinare il numero di quadruple di interi (non necessariamente distinti) compresi fra 1 e 12 (estremi inclusi) che verificano le seguenti condizioni:

-la somma dei primi due numeri è pari
-la somma dei primi 3 numeri è multipla di 3
-la somma dei 4 numeri è multipla di 4
(due quadruple che differiscono solo per l'ordine degli addendi sono da considerarsi distinte)

Ci provo...

se la somma dei primi 2 deve essere pari allora o sono entrambi pari o entrambi dispari, quindi coppie del tipo $ \displaystyle \left (2k + 1, 2k+1 \right) $ o $ \displaystyle \left (2k, 2k \right) $ per un totale di 72 coppie "buone"

Ora ci sono 3 casi:
- se il numero ottenuto è $ \equiv 0 \pmod 3 $ possiamo aggiungere un multiplo di 3 (3,6,9 o 12)
- se il numero ottenuto è $ \equiv 1 \pmod 3 $ possiamo aggiungere 2,5,8,11
- se il numero ottenuto è $ \equiv 2 \pmod 3 $ possiamo aggiungere 1,4,7,10

Le 72 coppie di prima sono distribuite nel seguente modo:
$ \sum = 2 \Rightarrow 1 $ caso
$ \sum = 4 \Rightarrow 3 $ casi
...
$ \sum = 12 \Rightarrow 11 $ casi
$ \sum = 14 \Rightarrow 11 $ casi
...
$ \sum = 24 \Rightarrow 1 $ caso

Perciò abbiamo 24 somme per tipo e quindi $ 72 \cdot 4 $ triple

Le triple possono essere divise in 4 gruppi in base alla loro equivalenza modulo 4, ognuno dei quali può essere associato a 3 numeri diversi per ottenere un multiplo di 4

Perciò le quadruple sono $ 72 \cdot 4 \cdot 3 = 864 $

le combinazioni totali sono $ 12^4 $

metà delle combinazioni hanno come somma delle prime 2 cifre un numero pari
di questa metà solo un terzo ha la somma delle prime 3 difre divisibile per 3
e ancora solo un quarto ha come somma totale un multiplo di 4

quindi le combinazioni favorevoli sono $ $\frac{12^4}{2 \cdot 3 \cdot 4}=864 $