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Sia $ $x_0,x_1,x_2,... $ la successione definita da$ $x_0=2 $ e $ $x_{n+1}=5+(x_n)^2 $ per ogni $ $n\geq0 $. Dimostrare che in tale successione non compaiono numeri primi diversi da 2.

Provo anche questo:

Allora $ x_0 = 2 $ quindi il suo quadrato, non essendo un multiplo di 3, sarà $ \equiv 1 \pmod{3} $, perciò sommato a 5, che è $ \equiv 2 \pmod{3} $ darà per forza un multiplo di 3 come successivo termine della successione, quindi non primo, inoltre il numero sarà dispari perchè somma del quadrato di un pari (anch'esso pari) e di un dispari.
Il quadrato di dispari sarà quindi dispari e sommato ad un altro dispari (5) darà un pari perciò il numero non sarà primo.
A questo punto la storia ricomincia perchè riotterremo un altro quadrato $ \equiv 1 \pmod{3} $ e così via.
Quindi la successione sarà composta alternativamente da multipli di 2 e di 3, senza avere mai altri primi oltre a 2.

Alex90 ha scritto:A questo punto la storia ricomincia perchè riotterremo un altro quadrato $ \equiv 1 \pmod{3} $

Il fatto non è scontato, infatti non è per forza così.

Si ha:
$ a_{0}=2 $
$ a_{1}= 9 $
$ (a_{2} = 86) \equiv 2 \pmod{3} $

Piuttosto si dovrebbe dimostrare che $ a_{2k} \not \equiv 0 \pmod{3} $ per ogni k.

sarà anche congruo a 2, ma il suo quadrato è congruo a 1, ed è questo che importa

Si potrebbe forse anche dimostrare che $ 5+(5+x^2)^2 $ e cioè $ x^4+10x^2+30 $ non è mai primo.
E' che non so come farlo, ci dovrei pensare un po...

Beh non perderci tempo: $ x=1\rightarrow x^2+10x+30=41 $
$ x_0=2 $ è un punto fondamentale delle ipotesi.

julio14 ha scritto:sarà anche congruo a 2, ma il suo quadrato è congruo a 1, ed è questo che importa

capito, grazie