OliForum Matematico

Si ha una pista ciclistica di forma perfettamente circolare, di centro O; su essa sta girando (per fissare le idee nel verso antiorario) un ciclista a velocità (scalare) costante.
Mentre il ciclista transita per il punto A, dallo stesso punto parte, da fermo, un altro ciclista, che viaggia nel verso opposto ad accelerazione (scalare) costante.
Dopo un giro essi si incontrano nuovamente in A. Naturalmente essi si
sono anche incontrati in un altro punto B; determinare la misura in radianti dell’angolo $ $\hat{AOB}$ $

Ciao a tutti, questo problema stava nella prova di matematica di quell'anno, ma ho preferito comunque questa sezione. Stranamente la soluzione non c'è sul sito, hanno messo le soluzioni dei problemi 1-2-3-4-5-6, ma non di questo (il 7).

Volevo giusto confrontare il risultato, a me viene che il valore dell'angolo è
$ $\pi(\sqrt5-1)$ $

Ciao, fatemi sapere
Se interessa a qualcuno, posso poi postare il procedimento.

L'accelerazione che aumenta costantemente è la centripeta, la radiale o la risultante delle due?

AndBand89 ha scritto:L'accelerazione che aumenta costantemente è la centripeta, la radiale o la risultante delle due?

No, l'accelerazione non aumenta, è costante.
Comunque si intende quella tangenziale.

Per il fatto che si incontrano dopo un giro si ha $ 2\pi R=v\cdot t = 1/2 a t^2 $. Dalla prima: $ t=2 \pi R/v $; dalla seconda: $ 2 \pi R=2a \pi^2 R^2 v^{-2} $, ovvero $ a=v^2/\pi R $

L'incontro precedente perciò è accaduto dopo un certo tempo $ t_x $ tale che $ v\cdot t_x=2\pi R - 1/2 a t_x^2=2\pi R - \frac{v^2}{2 \pi R} t_x^2 $.
Si ricava $ v^2\cdot t_x^2+2 \pi R v t_x-4 \pi^2 R^2=0 $ e, risolvendo, $ \displaystyle t_{x 1,2}= \frac{-2 \pi Rv \pm \sqrt{4 \pi^2 R^2 v^2 + 16 \pi^2 R^2 v^2}}{2v^2} $ $ \displaystyle =\pi R \frac{-2 \pm 2 \sqrt5}{2v} $. Escludendo il risultato negativo si conclude che $ t_x=\pi R (\sqrt5 -1)v^{-1} $.
Il punto B si troverà perciò ad una distanza pari a $ vt_x=\pi R (\sqrt5 -1) $ dal punto A (procedendo in senso antiorario).
A questo arco di circonferenza corrisponde un angolo di $ (\sqrt5 -1 )\pi $ radianti (si divide per R).
Il risultato coincide

Bene, mi fa piacere.
Grazie per esserti cimentato.
Buone cose!