OliForum Matematico

Siano $ $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $ due funzioni continue, tali che
$ $f(x + y) = f(x)f(y) - g(x)g(y)$ $
$ $g(x + y) = f(x)g(y) + g(x)f(y),$ $
con $ $f(0) \neq 0$ $. Dimostrare le seguenti proprieta`:

a. $ $f(0) = 1, g(0) = 0$ $.

b. Sia $ $h(x) := [f(x)]^2 + [g(x)]^2$ $; provare che questa funzione soddisfa la Cauchy $ $h(x + y) = h(x)h(y)$ $. Inoltre, mostrare che se $ $f(x), g(x)$ $ sono soluzioni, allora lo sono anche $ $a^xf(x), a^xg(x)$ $, con $ $a > 0$ $.

c. Supponiamo che $ $h(x)$ $ sia limitata superiormente: provare che allora $ $h(x) \equiv 1$ $.

d. Supponiamo che $ $f(x), g(x)$ $ siano differenziabili, e che $ $f'(0) = 0$ $. Dimostrare che $ $h(x) = 1$ $.


Buon lavoro!

stefanos ha scritto:Siano $ $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $ due funzioni continue, tali che
$ $f(x + y) = f(x)f(y) - g(x)g(y)$ $
$ $g(x + y) = f(x)g(y) + g(y)f(x),$ $
con $ $f(0) \neq 0$ $. Dimostrare le seguenti proprieta`:

a. $ $f(0) = 1, g(0) = 0$ $.

b. Sia $ $h(x) := [f(x)]^2 + [g(x)]^2$ $; provare che questa funzione soddisfa la Cauchy $ $h(x + y) = h(x)h(y)$ $. Inoltre, mostrare che se $ $f(x), g(x)$ $ sono soluzioni, allora lo sono anche $ $a^xf(x), a^xg(x)$ $, con $ $a > 0$ $.

c. Supponiamo che $ $h(x)$ $ sia limitata superiormente: provare che allora $ $h(x) \equiv 1$ $.

d. Supponiamo che $ $f(x), g(x)$ $ siano differenziabili, e che $ $f'(0) = 0$ $. Dimostrare che $ $h(x) = 1$ $.


Buon lavoro!

Sbaglio o era meglio aprirlo in matematica non elementare?

Sono passaggi molto facili

stefanos ha scritto:Sono passaggi molto facili

Che siano facili o no non lo so

Mi sono limitato a leggere la descrizione della sezione:

Matematica non elementare
Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
Moderatore tutor

poi boh, deciderà un MOD se passa di qui

Oh, capisco, ma c'e` solo poca analisi, e solo nell'ultimo punto
Se i moderatori lo ritengono opportuno, spostino pure tutto in MnE

stefanos ha scritto: $ $g(x + y) = f(x)g(y) + g(y)f(x),$ $

Suppongo tu volessi dire
$ $g(x + y) = f(x)g(y) + g(x)f(y),$ $

??

Ciao.

Correggo subito, grazie

Decisamente UP!
E non va in matematica non elementare, per questo accenno alle derivate, suvvia.
(potrebbe andare in mne se si volesse dimostrare che in effetti quelle due funzioni sono proprio seno e coseno solo sulla base della loro continuità - cosa che si può fare).
Forza, qualche nuova leva (o magari anche un po' usata, basta non un veterano) che non sia ancora sotto l'ombrellone.

Allora:
(a) Pongo $ x=0, y=0 $. Le equazioni diventano:

$ \displaystyle f(0)=f(0)^2-g(0)^2 \Longrightarrow g(0)^2=f(0)[f(0)-1] $

$ \displaystyle g(0)=2f(0)g(0) \Longrightarrow g(0)[2f(0)-1]=0 $
Nell'ultima espressione moltiplico entrambi i membri per $ g(0) $ e sostituisco la formula per $ g(0)^2 $ trovata sopra. Ottengo quindi:

$ \displaystyle f(0)[f(0)-1][2f(0)-1]=0 $
Dato che $ f(0) \ne0 $ uno tra $ [f(0)-1] $ e $ [2f(0)-1] $ è uguale a zero. Se fosse $ f(0)=\frac{1}{2} $ allora:

$ g(0)^2=f(0)[f(0)-1] \Rightarrow g(0)^2=\frac{1}{2}[-\frac{1}{2}] \Rightarrow g(0)^2=-\frac{1}{4} $
assurdo perche un quadrato è sempre positivo. Quindi $ f(0)=1 $ e sostituendo si ha $ g(0)=0 $.

(c) Dato che la funzione $ h(x) $ soddisfa la Cauchy $ h(x+y)=h(x)h(y) $ ed è superiormente limitata allora posso dire $ h(x)=c^x $ per un qualche $ c\in\mathbb{R} $. Se $ c>1 $ allora per $ x \rightarrow\infty $ si ha $ c^x \rightarrow\infty $, assurdo poiche la funzione sarebbe illimitata superiormente. Se $ c<0 $ allora per gli $ x $ dispari si avrebbe $ c^x<0 $ ma la funzione h è maggiore di 0 per ogni $ x $. Se $ 0<c<1 $ allora per $ x \rightarrow -\infty $ si ha $ c^x \rightarrow\infty $, assurdo. Se $ c=0 $, ponendo $ x=0 $ si ha $ h(0)=0^0 $ mentre $ h(0)=1 $. Allora $ c=1 $.

(d) Dato che $ h(x) $ soddisfa la funzione di Cauchy di cui sopra ed è differenziabile (basta anche che sia continua) allora posso dire che $ h(x)=c^x $ per un qualche $ c\in\mathbb{R} $.Si ha quindi
$ h'(x)=c^x\mbox{ln} c \hspace{0,5cm}(1) $.
Inoltre si ha
$ h'(x)=2f(x)f'(x)+2g(x)g'(x) \hspace{0,5cm}(2) $.
Calcolando la derivata in 0 di $ h(x) $ con la $ (2) $ si ha $ h'(0)=0 $. Sostituendo nella $ (1) $ si ha:
$ c^0\mbox{ln} c=0 $.
Se $ c=0 $ allora $ h(x)=0 $ per ogni $ x $, il che è assurdo. Allora per $ c\ne0 $ si ha:
$ \mbox{ln} c=0\Longrightarrow c=1 $

Dato che oggi sono in vena di calcoli, provo a risolvere il punto b.
Poichè $ h(x):=[f(x)]^2+[g(x)]^2 $, ottengo
$ h(x+y)=[f(x+y)]^2+[g(x+y)]^2= $
$ =[f(x)f(y)]^2+[g(x)g(y)]^2-2f(x)f(y)g(x)g(y)+[f(x)g(y)]^2+ $
$ +[g(x)f(y)]^2+2f(x)g(y)g(x)f(y)= $
$ =[f(x)f(y)]^2+[g(x)g(y)]^2+[f(x)g(y)]^2+[g(x)f(y)]^2 $
Inoltre
$ h(x)=[f(x)]^2+[g(x)]^2 $
$ h(y)=[f(y)]^2+[g(y)]^2 $
$ h(x)h(y)=[f(x)f(y)]^2+[f(x)g(y)]^2+[g(x)f(y)]^2+[g(x)g(y)]^2 $
Quindi
$ [f(x)f(y)]^2+[g(x)g(y)]^2+[f(x)g(y)]^2+[g(x)f(y)]^2= $
$ =[f(x)f(y)]^2+[f(x)g(y)]^2+[g(x)f(y)]^2+[g(x)g(y)]^2 $
cioè $ h(x+y)=h(x)h(y) $
Manca la seconda parte...

Mi sembra corretto ^^
Per la seconda parte del punto (b), sostituisci $ $a^x f(x), a^x g(x)$ $ al posto delle funzioni nelle relazioni date: cosa succede?