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Un professore scrive su una lavagna dei numeri, uno dopo l'altro, cancellando il precedente. Barbara che è girata di spalle deve tentare di indovinare cosa è scritto sulla lavagna.
La poveretta sa soltanto che il primo numero è intero positivo e che una volta scritto un numero $ x $ il professore può decidere di scrivere come successivo o $ 2x+1 $ o $ \displaystyle \frac{x}{x+2} $.
A un certo punto, il professore si distrae, e Barbara si volta, leggendo $ 2008 $.

Lui se ne accorge e le chiede di indovinare a questo punto, qual'era il primo numero scritto sulla lavagna.

Dai su, aiutamo Barbara


Ho corretto intero positivo

non sono sicuro che $ \frac{x}{x+2} $ sia intero

Effettivamente no, ecco che a modificare il testo originale si fanno casini
E' intero il primo numero scritto, correggo, grazie salva.

Ma i numeri sono tutti interi?

eppure:

$ $2x+1=2008$ $

$ $\frac{x}{x+2} = 2008$ $

non c'è x intero che soddisfi

EDIT: ah, EUCLA ha editato xD Intero solo il primo

Se ad un certo punto sulla lavagna è scritto un numero minore di 1, allora esso è stato ottenuto facendo $ f(x)=\displaystyle \frac{x}{x+2} $, se invece vi è un numero maggiore di 1, esso sarà stato ottenuto facendo $ \displaystyle f(x)=2x+1 $ (1 non può mai essere scritto con queste regole per ovvi motivi).
L'inverso della funzione $ f(x)=\displaystyle \frac{x}{x+2} $ è $ g(x)=\displaystyle \frac{2x}{1-x} $, mentre l'inverso di $ \displaystyle f(x)=2x+1 $ è $ g(x)=\displaystyle \frac{x-1}{2} $.
Ora ragioniamo a ritroso.
Scriviamo i numeri in ordine inverso di apparizione sulla lavagna (dal più recente al più vecchio) con una successione $ a_0, ... , a_n $.
Questa successione sarà definita così:
$ a_0=2008 $

Se $ a_i < 1 $ allora $ a_{i+1}=\displaystyle \frac{2a_i}{1-a_i} $
Se $ a_i > 1 $ allora $ a_{i+1}=\displaystyle \frac{a_i-1}{2} $.
I termini della successione appartengono tutti all'insieme dei numeri razionali, quindi sono esprimibili come frazioni, così: $ a_i=\displaystyle \frac{m_i}{n_i} $ con $ (m_i,n_i)=1 $
Abbiamo che $ m_0=2008 $ e $ \displaystyle n_0=1 $.
Vediamo cosa succede nella nostra successione...
Se $ \displaystyle \frac{m_i}{n_i} < 1 $ allora facendo due conti avremo
$ \displaystyle \frac{m_{i+1}}{n_{i+1}}= \frac{2m_i}{n_i-m_i} $.
Ho due casi, per la coprimalità di $ m_{i+i},n_{i+1} $ e di $ m_i,n_i $:
Caso 1)$ m_{i+1}=2m_i $ e $ n_{i+1}=n_i-m_i $
Caso 2)$ m_{i+1}=m_i $ e $ n_{i+1}=\displaystyle \frac{n_i-m_i}{2} $.
Se invece $ \displaystyle \frac{m_i}{n_i} > 1 $ allora ho che
$ \displaystyle \frac{m_{i+1}}{n_{i+1}}= \frac{m_i-n_i}{2n_i} $ e anche qui avrò due casi:
Caso 3)$ m_{i+1}=m_i-n_i $ e $ n_{i+1}=2n_i $
Caso 4)$ \displaystyle m_{i+1}=\frac{m_i-n_i}{2} $ e $ n_{i+1}=n_i $.

Vediamo ora come varia nella successione la somma $ m_{i+1}+n_{i+1} $.
Caso 1)$ m_{i+1}+n_{i+1}=m_i+n_i $
Caso 2)$ m_{i+1}+n_{i+1}=\displaystyle \frac{m_i+n_i}{2} $
Caso 3)$ m_{i+1}+n_{i+1}=m_i+n_i $
Caso 4)$ m_{i+1}+n_{i+1}=\displaystyle \frac{m_i+n_i}{2} $

Quindi tale somma o resta costante o si dimezza. Poichè però $ m_0+n_0=2009 $ allora essa non si potrà dimezzare, perchè deve essere sempre intera.
Allora la somma resta sempre 2009; un intero compare solo se $ n_i=1 $, ma in tal caso l'intero sarebbe 2008. Quindi il primo numero scritto sulla lavagna era 2008.

Esatto, l'idea è proprio questa. Bravo che te la sei fatta venire in mente!

Io l'ho letta su mathlinks