OliForum Matematico

Dati n numeri positivi $ $a_1,~a_2,~...~a_n $ ed un intero non negativo k, dimostrare che
$ $\frac{a_1^k+a_2^k+...+a_n^k}{n}\leq\frac{a_1^{k+1}+a_2^{k+1}+...+a_n^{k+1}}{a_1+a_2+...+a_n} $

dividendo LHS per la media k-esima elevata alla k+1 e RHS per la media k+1-esima elevata alla k+1 rimane media k-esima maggiore o uguale a AM che è vera.

Oppure:

$ $\frac{a_1^k+a_2^k+...+a_n^k}{n}\leq\frac{a_1^{k+1}+a_2^{k+1}+...+a_n^{k+1}}{a_1+a_2+...+a_n}* \frac{n}{n} $

$ \displaystyle \frac{a_1^k+a_2^k+...+a_n^k}{n}*\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\leq \frac{a_1^{k+1}+a_2^{k+1}+...+a_n^{k+1}}{n} $

ossia
$ [Media (K)]^k(AM) \leq [Media (K+1)]^k [Media (K+1)] $

e questa è la disuguaglianza delle medie p-esime.

ok, è troppo semplice.
Rilancio: Dimostrarlo nel maggior numero di modi possibili.

aggiungo:
trovare una soluzione senza usare medie k-esime

Moltiplicando per i denominatori si arriva a
$ \displaystyle \sum a_i \sum a_i^{k}\leq n \sum a_i^{k+1} $
che è vera per Chebycheff considerato che le n-uple $ (a_1,..,a_n) $ e $ (a_1^k,...,a_n^k) $sono ordinate allo stesso modo

Innanzitutto mi presento: sono Andrea Bianchi, e benché mi sia iscritto a giugno sul forum, questa è la prima volta che aggiungo un post (WOWWW!!!).
E se per il problema di cui sopra non conoscessimo né le diseguaglianze tra le medie, né la disuguaglianza di Chebycheff, né qualsiasi altra diseguaglianza famosa? Qualcuno provi a fare la dimostrazione con la trigonometria!

Intendevo rinnovare l'invito a trovare altre dimostrazioni, e sarebbe più che sorprendente se qualcuno usasse la trigonometria. Non intendo dire che io sarei in grado di dare la dimostrazione con la trigonometria!

magari l'induzione?

Oh, che bella idea! E dire che l'induzione si può fare sia su n che su k!