OliForum Matematico

Un'asta rigida uniforme di massa $ M $ e lunghezza $ L $, in posizione verticale, è appesa per l'estremo superiore ad un gancio.
Il gancio è collegato ad un motorino che lo mette in rotazione su se stesso a velocità angolare costante $ \displaystyle\omega $ in modo che l'asta si sollevi dalla posizione verticale formando un angolo $ \displaystyle \alpha $ con l'asse verticale. Calcolare la velocità angolare in funzione dell'angolo in modo tale che il sistema sia in equilibrio.

Buon lavoro!


Il problema è già stato postato un annetto fa, ma purtroppo manca di soluzione dettagliata. C'è una soluzione numerica, che ovviamente non coincide con la mia!

Non riesco a capire bene il testo del problema (sarà che sono improvvisamente rimbecillito, ma è così). In particolare, che cosa intendi esattamente con l'equilibrio del sistema? Non è per chiederti troppo, ma forse anche una figura sarebbe d'aiuto .

P.S:
ah e se ce la fai non è che potresti darmi il link del vecchio topic con questo problema? Io non riesco a trovarlo .

Ecco qua: http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... senigallia.

Ah, per l'equilibrio credo che si intenda che ad una certa velocità l'asta mantiene l'angolo d'apertura rispetto alla posizione verticale.

hmmm devo avere sbagliato qualcosa, mi viene $ \displaystyle \cos\alpha=\frac{2g}{\omega^2 L} $ anziché $ \displaystyle \cos\alpha=\frac{3g}{2\omega^2 L} $

Premetto che anche io all'inizio non riuscivo ad immaginarmi la situazione

Comunque anche a me viene il risultato di Desh. Credo però che andrebbe bene se si fosse in presenza di filo + massa alla fine, ma forse il fatto che è un'asta cambia un po' le cose...nel vecchio topic c'è comunque un avvertimento a non sottovalutare il problema...

Desh ha scritto:hmmm devo avere sbagliato qualcosa, mi viene $ \displaystyle \cos\alpha=\frac{2g}{\omega^2 L} $ anziché $ \displaystyle \cos\alpha=\frac{3g}{2\omega^2 L} $

Mi fai vedere come lo ricavi? Così posso confrontare il mio ragionamento (piuttosto incasinato) col tuo .
Hanno ragione, non è poi così facile quanto sembra .

ma è possibile che non riesco a capire cosa accidenti succede nella situazione descritta?

salva90 ha scritto:ma è possibile che non riesco a capire cosa accidenti succede nella situazione descritta?

Ammetto che il testo del problema ad una prima lettura non è di facile comprensione, tuttavia dopo che EUCLA mi ha spiegato che cosa si intende per "equilibrio del sistema" e dopo aver visto il vecchio topic ho finalmente capito tutto.
Praticamente Salva immagina che quando l'asta incominci a ruotare con velocità angolare $ \displaystyle \omega $ essa descriva un cono con asse uguale alla verticale, cioè alla posizione iniziale dell'asta prima della rotazione. Bisogna trovare $ \displaystyle \omega $ in funzione dell'angolo $ \displaystyle \alpha $ che l'asta in rotazione forma con la verticale in modo tale che l'angolo rimanga sempre lo stesso mentre l'asta continua a girare alla stessa velocità .

P.S:
io il problema ho tentato di risolverlo ragionando sulla conservazione dell'energia meccanica totale, ma non sono molto sicuro di quello che ho fatto . Qualcun'altro ha altre idee?

aaaaah grazie ale ora ho capito

Algebert ha scritto: io il problema ho tentato di risolverlo ragionando sulla conservazione dell'energia meccanica totale

L'asta non è isolata, il motore immette energia nel sistema

Desh ha scritto:

Algebert ha scritto: io il problema ho tentato di risolverlo ragionando sulla conservazione dell'energia meccanica totale

L'asta non è isolata, il motore immette energia nel sistema

Ah ecco perchè non mi veniva, come ho fatto a non accorgermene !

Per favore nessuno di voi può postare il proprio metodo risolutivo? Non riesco a farmi venire questo problema , mi accontento anche del ragionamento o di un semplice hint !

Ho trovato un altro modo per farlo. Il risultato non coincide, nuovamente, però magari voi siete in grado di aggiustarlo.

Ci prendiamo la nostra asticella, e calcoliamo nell'estremità in basso il momento delle forze applicate su di essa, ricordando che $ \tau =I\alpha $.

Dobbiamo però tener presente che $ I=I_{CdM}+M\displaystyle \frac{L^2}{4} =M\frac{L^2}{12}+M\frac{L^2}{4}=\frac{ML^2}{3} $.

Inoltre, $ \alpha =\displaystyle \frac{a}{R} $. Essendo nell'estremo, $ a $ non è altro che l'accelerazione centrifuga, dunque $ a={\omega}^2\displaystyle R $ dato che l'asta si muove a velocità costante.
Preciso che $ R $ è la distanza dall'asse di rotazione. Sostituisco: $ \displaystyle \alpha =\omega ^2 $.

Inoltre, $ \tau =\displaystyle \frac{MgL}{2}\cdot \sin{\alpha} $.

Sostituendo: $ \displaystyle \frac{MgL\sin{\alpha}}{2} =\frac{ML^2\omega ^2}{3} $ da cui ricavo $ \omega ^2=\displaystyle \frac{3g\sin{\alpha}}{2L} $.

Peccato che quel seno dell'angolo non sia mai venuto fuori prima.. e sta dalla parte sbagliata della frazione..

@ EUCLA: scusa, ma se l'asta si muove a velocità angolare costante l'accelerazione angolare non dovrebbe essere nulla ?
Comunque niente da fare, questo problema non vuole venirmi, mi arrendo ! Qualcuno potrebbe postare per favore la sua soluzione corretta ?

Nessuno che possa aiutare me ed EUCLA ?