Massimo numero di quadrati in una successione

[g(n)]

Questo esercizio l'ho inventato prendendo spunto dal problema "Furto in casa Simson" della finale a squadre di quest anno:

Si trovi la somma di tutti i valori $ m \in \mathbb{N} $ per i quali è massima la quantità di quadrati perfetti nella successione

$ a_0=m $
$ a_{n+1}=a_n^4+163 $

Buon lavoro

[SkZ]

$ $a_n\equiv 0 \mod 3 \Rightarrow a_{n+1}\equiv 1 \mod 3$ $
$ $a_n\equiv 1 \mod 3 \Rightarrow a_{n+1}\equiv 2 \mod 3$ $
$ $a_n\equiv 2 \mod 3 \Rightarrow a_{n+1}\equiv 2 \mod 3$ $

nessuno vuole degnare di una soluzione? Povero problema abbandonato

[fede90]

Vabbè ormai il grosso l'ha gia fatto Skz comunque...

Allora, se a_0 è congruo 1 o 2 modulo 3 allora tutti i termini successivi saranno congrui a 2 modulo 3, quindi solo a_0 può essere un quadrato (perchè un quadrato e congruo solo a 0 o a 1 modulo 3). Se invece a_0 congruo a 0 modulo 3, il secondo sarà congruo a 1 e poi tutti gli altri congrui a 2. Quindi al max posso avere due quadrati perfetti, in particolare

$ $a_0=s^2$ $
$ $a_1=s^8+163=t^2$ $

Quindi $ $(t-s^4)(t+s^4)=163$ $. Siccome 163 è primo e $ $t+s^4\geq t-s^4$ $ allora abbiamo il sistema

$ $t+s^4=163,\quad t-s^4=1$ $

che ci dà l'unica soluzione $ $t=82,s=3$ $. Il valore cercato è quindi $ $m=s^2=9$ $, da cui infatti

$ $a_0=9=3^2, \quad a_1=9^4+163=6724=82^2$ $

[g(n)]

Grazie Skz per averlo resuscitato

Comunque ok, tutto giusto, era piuttosto facile...l'idea della congruenza modulo 3 era quella da cui ero partito, anche se alla fine non serve perchè basta risolvere
$ x^4+163=n^2 \Leftrightarrow (n+x^2)(n-x^2)=163 $
che ha un'unica soluzione negli interi con $ x $ quadrato pure lui

Comunque la congruenza poteva essere utile all'inizio per capire che al massimo i quadrati sono 2

[AndBand89]

Potremmo chiamarlo topic Udine questo Jack non è che posti quello dei numeri blitz che sul forum del Marinelli non lo trovo?

[g(n)]

Beh, quello era un problema nato così per gioco, e la formulazione non era neanche chiara (anzi: non c'era proprio )...e poi penso che non sia neanche risolvibile

In breve: avete presente il gioco in cui si devono dire a turno i numeri naturali, però quando arriva un multiplo di un numero x scelto in precedenza (o un numero che lo contiene nella rappresentazione decimale) bisogna dire un'altra parola scelta sempre in precedenza? Bene, si tratta di 'dare una caratterizzazione' di questi numeri, qualunque cosa voglia dire

Comunque qui è OT, se qualcuno è interessato si può aprire un nuovo topic...