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Questo problema secondo me è fenomenale

Siano $ $x,y,z$ $ interi positivi che soddisfano $ $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$ $ e sia $ $h$ $ il massimo comun divisore tra $ $x,y,z$ $. Dimostrare che $ $hxyz$ $ è un quadrato perfetto. Dimostrare poi che anche $ $h(y-x)$ $ è un quadrato perfetto.

Poniamo
$ $x=ah $
$ $y=bh $
$ $z=ch $

La tesi diventa: dimostrare che $ $abc $ è un quadrato.

Riscrivendo l'ipotesi abbiamo che
$ $bc-ac=ab $

A questo punto basta notare che dato un numero intero $ $n $, non può dividere $ $a $, $ $b $ e $ $c $ contemporaneamente, e non può dividere solo uno di loro; perciò $ $n $ compare esattamente 2 volte in $ $abc $, da cui la tesi.

Riscriviamo la tesi del secondo punto:
$ $h(y-x)=h^2(b-a) \Longrightarrow (b-a) $ deve essere un quadrato.

Dal primo punto abbiamo che
$ $bc-ac=ab \Longrightarrow c^2(b-a)=abc $
$ $abc $ è un quadrato perché già dimostrato e quindi $ $b-a $ è per forza un quadrato.

Davvero carino!

Possiamo riscrivere $ \displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{z} $ come $ \displaystyle \frac{y-x}{xy}=\frac{1}{z} $ da cui ricavo $ \displaystyle y-x=\frac{xy}{z} $.
Fidatevi che si ricava allora, anche per gli altri, che $ \displaystyle \frac{xy}{z}, \frac{yz}{x}, \frac{zx}{y} $ devono essere interi.

Per ipotesi $ (x,y,z)=h $. Essendo omogenea l'uguaglianza, posso però moltiplicare ambo i membri per $ h $ senza cambiarne la forma.

Posso dunque lavorare sempre con le variabili $ x,y,z $ supponendo che $ (x,y,z)=1 $ senza alterare il risultato. In fondo prenderò in considerazione $ h $.

Prendiamo in considerazione $ \displaystyle \frac{xy}{z} $ ottenendo che $ z\vert xy $.

Caso 1: $ (x,y)=1 \rightarrow \exists z_1,z_2 \in \mathbb{N}\big{\vert} z=z_1z_2, \ z_1\vert x, \ z_2\vert y $.

Caso 2: $ (x,y)=k $. Se $ z\vert k^2 $ si ha un assurdo perchè sarebbe $ (x,y,z)\not =1 $. Allora, anche in questo caso, esistono $ z_1,z_2 $.

Allora pongo $ x=z_1a, y=z_2b $.
Imponendo ora che $ \displaystyle \frac{yz}{x} $ sia intero, sostituisco e ottengo $ \displaystyle \frac{yz}{x}=\frac{(z_2b)(z_1z_2)}{z_1a}=\frac{bz_2^2}{a} $.

Allo stesso modo, $ \displaystyle \frac{zx}{y}=\frac{(z_1z_2)(z_1a)}{z_2b} =\frac{az_1^2}{b} $.

Ora, per la mia ipotesi $ (x,y,z)=1\rightarrow (z_1a,z_2b,z_1z_2)\rightarrow =1\Rightarrow a\not \vert z_2, b\not \vert z_1 $.

Dalle due relazioni ricaviamo allora $ a\vert b, b\vert a \Rightarrow a=b $.

Allora $ \displaystyle \frac{zx}{y}\cdot y^2=z_1^2y^2 \rightarrow xyz=z_1^2y^2 $ dunque è un quadrato.

Dunque, anche $ h^4xyz $ lo è.

Ovviamente poi se ancora $ (x,y,z)=1 \rightarrow \displaystyle y-z=\frac{xy}{z}=a^2 $ e se consideriamo $ (x,y,z)=h $ anche $ h(y-x) $ è un quadrato (contiene due fattori $ h $ in più rispetto al precedente).

P.S. Non avevo visto la dimostrazione di mod, dato che mentre postavo ho fatto anche tante altre cose, e ora sono leggermente shockata dal fatto che lui ha impiegato metà spazio rispetto a quanto ce ne ho messo io
Bravo mod!

Bella la soluzione di mod (quella di eucla prometto di rileggerla con piu calma... ).

Propongo quindi la mia soluzione, diversa dalle altre due (:shock:), della quale non sono però convinto al 100%.

$ $\frac{1}{z}>0 \Rightarrow \frac{1}{x}-\frac{1}{y}>0 \Rightarrow y>x$ $.
Pongo quindi $ $y=x+k$ $, con $ $k \in \mathbb N$ $. Sostituendo ottengo $ $z=x+\frac{x^2}{k}$ $.
Le soluzioni quindi sono tutte e sole quelle della forma $ $(x,x+k,x+\frac{x^2}{k}), \quad x,y \in \mathbb N, \quad k\mid x^2$ $.
Quindi ho $ $hxyz=\frac{h}{k}\cdot (x(x+k))^2$ $.
Dimostriamo ora che $ $\frac{k}{h}$ $ è un quadrato perfetto. Sia $ $p$ $ un generico primo che compare con esponente $ $a$ $ nella fattorizzazione di $ $x$ $. Siccome $ $k\mid x^2$ $, $ $p$ $ deve comparire in $ $k$ $ con un esponente $ $b$ $ compreso tra $ $0$ $ e $ $2a$ $. Dividiamo in due casi.

Caso 1: $ $0\leq b\leq a$ $. Si nota facilmente che $ $p$ $ compare con esponente $ $b$ $ in $ $y=x+k$ $ e con esponente $ $a$ $ in $ $x$ $ e in $ $z=x+\frac{x^2}{k}$ $. Perciò comparirà in $ $h$ $ con esponente $ $b$ $, e in $ $\frac{k}{h}$ $ con esponente $ $b-b=0$ $.
Caso 2: $ $a<b\leq 2a$ $. Sia $ $b=a+c$ $. Abbiamo che $ $p$ $ compare con esponente $ $a$ $in $ $x$ $ e in $ $y=x+k$ $, mentre compare con esponente $ $2a-(a+c)=a-c$ $ in $ $z=x+\frac{x^2}{k}$ $. Comparirà perciò con esponente $ $a-c$ $ in $ $h$ $ e quindi con esponente $ $a+c-(a-c)=2c$ $ in $ $\frac{k}{h}$ $.

Ripetendo il ragionamento con tutti i primi della fattorizzazione di $ $x$ $, si ottiene che ciascuno compare in $ $\frac{k}{h}$ $ con esponente o $ $0$ $ o $ $2c$ $, quindi sempre pari. Inoltre poi, siccome $ $h\mid x$ $ e $ $h\mid x+k$ $ ottengo $ $h\mid k$ $. Quindi $ $\frac{k}{h}=n^2$ $ per qualche naturale $ $n$ $. Perciò $ $hxyz=\Big(\frac{x(x+k)}{n}\Big)^2$ $, che è la tesi.

Per il secondo punto, riscrivo l'equazione iniziale come $ $z(y-x)=xy$ $ e moltiplico tutto per $ $hz$ $ ottenendo $ $z^2h(y-x)=hxyz$ $ da cui banalmente la tesi.

Well, spero che qualcuno abbia voglia di leggerla e vedere se ci sono degli errori/incompletezze/o quant'altro... Ciao

Ma non si può anche vedere che la condizione è soddisfatta da frazioni di questo tipo: $ $ \frac {1}{3}-\frac {1}{4} $, $ $ \frac {1}{5}-\frac {1}{6} $ In questo caso infatti il MCD è 1, il mcm è $ x\cdot y=z $ e quindi $ hxyz=x^2y^2 $ che è un quadrato perfetto mentre $ h(y-x)=1 $... Forse è solo un caso particolare, ma ho trovato solo un'eccezione con $ x=2 $, $ y=4 $...

String ha scritto:Ma non si può anche vedere che la condizione è soddisfatta da frazioni di questo tipo: $ $ \frac {1}{3}-\frac {1}{4} $, $ $ \frac {1}{5}-\frac {1}{6} $ In questo caso infatti il MCD è 1, il mcm è $ x\cdot y=z $ e quindi $ hxyz=x^2y^2 $ che è un quadrato perfetto mentre $ h(y-x)=1 $... Forse è solo un caso particolare, ma ho trovato solo un'eccezione con $ x=2 $, $ y=4 $...

Le soluzioni che hai trovato tu sono del tipo x, x+1, (x(x+1)) e sono un caso particolare (vedi quelle che ho trovato e prova a porre k=1). Mentre le soluzioni del tipo x,2x,2x (come quella 2,4,4) sono un altro caso particolare, in cui poni k=x. Ma ci sono anche altre soluzioni non di queste forme, ad esempio 15, 40, 24 (con x=15 e k=25).

fede90 ha scritto: Well, spero che qualcuno abbia voglia di leggerla e vedere se ci sono degli errori/incompletezze/o quant'altro... Ciao

Mi sembra tutto giusto!

mod_2 ha scritto:Mi sembra tutto giusto!

Thanks!