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Tratto da una dispensa di EvaristeG segnata da fph in Glossario e Teoria di Base.
Lo posto perché non riesco a formalizzare la dimostrazione, quindi pregherei chi vuol intervenire di scrivere una dimostrazione completa e chiara (visto che si tratta anche di un problema semplice).

Sia ABC un triangolo e sia P un punto al suo interno. Tracciamo per P una retta parallela a BC che incontra AB in D e AC in E, una retta parallela ad AC che incontra AB in F e BC in G e una retta parallela ad AB che incontra AC in H e BC in I. Sappiamo che PHE ha area 4, PFD ha area 9 e PGI ha area 49; calcolare l'area di ABC.

I triangoli PHE ,PFD e PGI sono simili al triangolo ABC e quindi simili tra di loro.
Ricordando che le aree di tali triangoli stano come i quadrati dei lati omologhi si ha:
$ \displaystyle PE^2:PD^2:IG^2=4:9:49 $
Da cui:
$ \displaystyle PE:PD:IG=2:3:7 $
Componendo ,abbiamo ad esempio:
$ \displaystyle (PE+PD+IG):IG=(2+3+7):7 $
Ma PE=GC ,PD=BI e dunque:
$ \displaystyle BC:IG=12:7 $
Oppure :
(1) $ \displaystyle BC^2:IG^2=144:49 $
Per il medesimo teorema ricordato risulta:
$ \displaystyle S(ABC):S(PGI)=BC^2:IG^2 $
E per la (1):
$ \displaystyle S(ABC):S(PGI)=144:49 $
Da cui finalmente:
$ \displaystyle S(ABC)=S(PGI)\cdot \frac{144}{49}=49 \cdot \frac{144}{49}=144 $
karl

notiamo che tutti e tre i triangoli all'interno di ABC sono simili tra loro e simili a ABC stesso, mentre i quadrilateri rimasti sono dei parallelogrammi che quindi hanno i lati uguali a due a due
inoltre il rapporto tra lati di triangoli simili è ugaule alla radice del rapporto tra le aree, quindi possiamo scrivere
PD/PE=3/2
PE=CG
PD=IB
IB/CG=2/3

GI/EP=7/2
GI/CG=7/2

CG/CG=2/2

(CG+IB+GI)/CG=(2+3+7)/2
CB/EP=6
A(abc)/A(eph)=36
A(abc)=36*4=144

spero di non aver commesso errori madornali

Siano HP=a, FD=b, PI=c, EQ=p, PR=q, GS=r. Sappiamo che ap=8, bq=18 e cr=98. Abbiamo che AFPH e DBIP sono parallelogrammi, quindi AF=HP=a e BD=IP=c. Abbiamo perciò AB=a+b+c.
Notiamo che i triangoli ABC, PHE, PFD, GPI sono tutti simili (facile da dimostrare). Tracciamo ora la parallela a AB passante per E. Abbiamo che ECK e PGI sono simili, ma siccome EK=PI essi sono congruenti, quindi CJ=SG=r. L'altezza di ABC è quindi p+q+r. L'area di ABC è (a+b+c)(p+q+r)/2.
Dalla similutidine tra PHE e DFP ottengo aq=pb. Ma so che aq*pb=ap*bq=8*18 da cui aq=bp=12. Analogamente si ottiene ar=cp=28 e br=cq=42. L'area di ABC è quindi (ap+bp+cp+bp+bq+br+cp+cq+cr)/2=144.

EDIT: è anche il mio 144-esimo messaggio