OliForum Matematico

Ogni punto del piano ha la proprietà di essere o Blue o Verde:
1)dimostrare che esiste un rettangolo avente i vertici dello stesso colore.
2)dimostrare che esiste un triangolo regolare a vertici dello stesso colore.
3)Si consideri una sfera in cui ciascun punto è colorato o di blue o di verde,proprio come il piano di su: si dimostri che su tale sfera esiste un triangolo regolare avente i vertici dello stesso colore.
Ero indeciso se metterlo qui o in geometria: però ho pensato che nello spirito è decisamente combinatoria: nel caso i moderatori la pensino diversamente lo sposteranno.
Sono tutti e tre molto carini secondo me, e decisamente divertenti: 2,3 sono quasi a parimerito in difficoltà(con qualche punto in più per 2) e l'1 è il più semplice.
Buon divertimento.
p.s:nella solita speranza che nn siano doppioni(qui trovarli era decisamente difficile con la funzione cerca)

Up! dai che sono carini....
almeno il rettangolo qualcuno lo sbologni... poi fatto quello le ispirazioni per gli altri verranno più facilmente...

Carlein ha scritto:Up! dai che sono carini....
almeno il rettangolo qualcuno lo sbologni... poi fatto quello le ispirazioni per gli altri verranno più facilmente...

ma visto che nessuno risponde posto la soluzione che avevo scritto qualche settimana fa:

Tracciamo una retta $ ~ r $ e individuiamo quattro punti di uno stesso colore su di essa (è sempre possibile in quanto se vi sono meno di 4 punti di un colore ve ne saranno un infinità dell'altro colore) Chiamiamo questi quattro punti $ ~ P_1 $, $ ~ P_2 $, $ ~ P_3 $ e $ ~ P_4 $. Tracciamo le rette perpendicolari a $ ~ r $ in $ ~ P_i $ e le chiamiamo $ ~ s_i $ con $ ~ i $ da 1 a 4. Dividiamo la dimostrazione in due casi:


- $ ~ s_1 $ contiene almeno 2 punti del colore opposto a $ ~ P_1 $.
- $ ~ s_1 $ contiene meno di 2 punti del colore opposto a $ ~ P_1 $.

Primo caso:

Chiamiamo i due punti del colore opposto a $ ~ P_1 $, $ ~ Q_1 $ e $ ~ Q_2 $ e tracciamo le perpendicolari a $ ~ s_1 $ per questi due punti e le chiamiamo $ ~ h_1 $ e $ ~ h_2 $. Chiamiamo $ ~ R_i $ le intersezioni di $ ~ h_1 $ con $ ~ s_i $, e $ ~ T_i $ le intersezioni di $ ~ h_2 $ con $ ~ s_i $. Supponiamo per assurdo che sia impossibile costruire un rettangolo con vertici dello stesso colore. Avremo che al più uno tra $ ~ R_2 $, $ ~ R_3 $ e $ ~ R_4 $ potrà essere dello stesso colore di $ ~ P_1 $, supponiamo wlog che questo sia $ ~ R_2 $. Ma allora non più di uno tra $ ~ T_2 $, $ ~ T_3 $ e $ ~ T_4 $ potrà essere bianco e non più di uno potrà essere nero. Assurdo.

Secondo caso:

Supponiamo ora che $ ~ s_1 $ contenga meno di 2 punti del colore opposto a $ ~ P_1 $, ma allora $ ~ s_1 $ conterrà infiniti punti dello stesso colore di $ ~ P_1 $. Scegliamone due tra questi e chiamiamoli $ ~ A_1 $ e $ ~ A_2 $. Come prima tracciamo le perpendicolari $ ~ h_1 $ e $ ~ h_2 $ e chiamiamo le intersezioni $ ~ R_i $ di $ ~ h_1 $ con $ ~ s_i $ e $ ~ T_i $ le intersezioni di $ ~ h_2 $ con $ ~ s_i $. Ragionando come prima per assurdo, avremo che neanche uno tra $ ~ T_2 $, $ ~ T_3 $, $ ~ T_4 $, $ ~ R_2 $, $ ~ R_3 $ e $ ~ R_4 $ potrà essere dello stesso colore di $ ~ P_1 $. Assurdo.

Carlein ha scritto:Up! dai che sono carini....
almeno il rettangolo qualcuno lo sbologni... poi fatto quello le ispirazioni per gli altri verranno più facilmente...

Mostrare che se ogni punto dello spazio $ \mathbb{R}^k $ è colorato con uno degli $ n $ colori assegnati, allora la sfera k-dimensionale di centro (0,0,0,...) e raggio 1 contiene infiniti parallelogrammi k-dimensionali monocromatici