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Sia ABCD un quadrilatero e siano E,F,G e H i punti medi dei lati AB, BC, CD e DA.
Dimostrare che EG e FH si incontrano lungo il segmento che congiunge i punti medi di AC e BD.

...e visto che è una cosa che gli "esperti" avranno già visto, abbiano questi la decenza di lasciarlo a chi è meno pratico e più bisognoso di fare esercizio, anche con fatti noti.

PS: quel segmento che congiunge i punti medi delle diagonali si chiama retta di Newton e pass anche per il punto medio del segmento che ha per estremi le intersezioni di AB con CD e di AD con BC (bonus question: dimostrare anche quest'ultima cosa).

@ EvaristeG

La linea di Newton esiste anche per i quadrilateri concavi?

Chiamiamo K il punto medio di DB e L quello di AC.ora chiamiamo J il punto di intersezione tra LK e EG. Consideriamo i triangoli EKJ e JLG. Dato che che EKB è simile a ADB, e il rapporto di similitudine è 1/2(il tutto per costruzione), abbiamo EK=AD/2. Lo stesso discorso vale per LGC nei confronti di ADC, dunque si ricava LG=EK. LG parallelo a EK quindi ^EKL=^KLG. l'angolo al vertice, e dunque per il secondo criterio EKJ=JLG. In particolare KJ=JL. Ora il discorso si ripete in maniera assolutamente analoga con i vertici H, F e l'intersezione tra il segmento HF e il segmento KL. Ma dunque si ha che EG biseca KL e HF biseca KL, poichè il punto medio è unico l'intersezione tra EG e FH avviene proprio su KL. Poichè sono una rapa geometrica assoluta, mi sono permesso di rispondere...e se non ho preso sviste colossali mi sembra giusta...ma fatemi sapere

perfetto

Sì, Wizard, per ogni quadrilatero.