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Data una parabola generica ed un punto P esterno ad essa determinare l'equazione della perpendicolare a tale parabola passante per P.

(Non ci sono riuscito e una parte di me dubita che ci sia una soluzione )

prendiamo $ y=ax^2 $ (a meno di rotazioni, traslazioni e omotetie è una parabola generica)
Consideriamo il punto A: (p,q).
Le rette da A alla parabola sono del tipo
$ (y-q)(t-p)=(x-p)(at^2-q) $
al variare di t tra i reali.
La perpendicolare nel punto (t,t^2) è
$ (y-at^2)(q-at^2)=(t-p)(x-t) $
D'altra parte, la tangente alla parabola in quel punto è
$ (y-at^2)=2at(x-t) $
Quindi vogliamo che
$ 2at=\dfrac{t-p}{q-at^2} $
e dunque che $ 2atq-2a^2t^3-t+p=0 $
ovvero
$ 2a^2t^3+t(1-2aq)-p=0 $
Quindi, a seconda del segno di
$ 4\dfrac{(1-2aq)^3}{8a^6}+27\dfrac{1}{4a^4} $
avremo una sola normale (positivo) due normali (nullo e $ (p,q)\neq(0,1/2a) $) o tre normali (negativo). Il caso (p,q)=(0,1/2a) è a parte (è la cuspide del discriminante della cubica) e per esso c'è una sola normale, x=0.
In generale, per trovare i t che danno rette normali, si deve quindi risolvere l'equazione di terzo grado scritta sopra.

Grazie

Ero arrivato a qualcosa di simile passando da tutt'altra strada ma l'eq di terzo mi convinceva davvero poco