OliForum Matematico

L'altra sera mi chiama mio cugino che sta giocando d'azzardo (è una storia vera) e mi chiede spassionatamente... "Senti, tra noi amici ci stiamo chiedendo una cosa...

$ (i) $ lanciando $ 8 $ volte un dado, qual è la probabilità che escano tutti e sei i numeri?"

Mentre cerco di risolverlo mi viene in mente un'altra cosa:
$ (ii) $ si può trovare una formula generale per $ n $ lanci? (chiaramente $ n\geq6 $)

La parte $ (ii) $ avverto che non è punto semplice e ci si accontenta anche di una forma approssimata...
Vale qualsiasi metodo di risoluzione (anche di provare a lanciare i dadi)...

A voi... aspetto fiducioso...

se mettiamo la condizione che i primi 6 numeri devono essere i numeri 1,2,3,4,5,6, non necessariamente in ordine, la probabilità è
(5*4*3*2*1)/(6*6*6*6*6)
visto che non devono essere tra i primi 6 necessariamente, bisogna moltiplicare la frazione di prima per le combinazioni di 6 elementi in n posti...

o almeno è la prima cosa che mi è venuta in mente...

E' la prima cosa che mi è venuta in mente anche a me... Però se fai un po' di verifiche con $ n $ grande vedrai che $ p(n) $ diventa $ \geq1 $, ovvero non è corretto...
Comunque è un buon punto di partenza...

Se abbiamo 6 tiri abbiamo 6! casi. Se ne aggiungiamo 1 tiro, quelli di prima continuano ad essere validi (*6 volte) ma recuperiamo una serie di tiri.

SkZ ha scritto:Se abbiamo 6 tiri abbiamo 6! casi. Se ne aggiungiamo 1 tiro, quelli di prima continuano ad essere validi (*6 volte) ma recuperiamo una serie di tiri.

Uhm... non capisco dove vai a parare...

Ok ci provo, magari sono banalità che avete già pensato =)

Intanto i casi possibili sono permutazioni con ripetizione di 6 elementi in 8 posti.. Poiché per ogni posto ci sono 6 numeri possibili, il numero di casi possibili mi pare 6 alla 8, quindi 1.679.616..
Il numero di casi favorevoli lo possiamo calcolare tenendo fissi i primi 6 posti e disponendo 6 elementi nei restanti 2, quindi le disposizioni di 6 elementi in 2 posti mi pare siano 6*5=30. Però siccome conta anche l'ordine in cui possiamo mettere i 2 posti restanti, i casi diventano 30*28=840.
Quindi alla fine la probabilità di avere tutti i 6 numeri con 8 lanci dovrebbe essere 840/1679616, più o meno uguale a 5 per dieci alla meno 4, quindi dello 0,05%.

In generale, il numero dei casi possibili è 6 alla n. Il numero di casi favorevoli sono le disposizioni di 6 elementi in n-6 posti, e l'ordine di quell'n-6 posti restanti non so.. provando i vari casi alla fine io ho fatto una cosa tipo (n-1)+(n-2)+(n-3)+...+1 ma non mi piace molto..

Ho detto delle cavolate? =D

Evelynn ha scritto:Ok ci provo, magari sono banalità che avete già pensato =)

Intanto i casi possibili sono permutazioni con ripetizione di 6 elementi in 8 posti.. Poiché per ogni posto ci sono 6 numeri possibili, il numero di casi possibili mi pare 6 alla 8, quindi 1.679.616..
Il numero di casi favorevoli lo possiamo calcolare tenendo fissi i primi 6 posti e disponendo 6 elementi nei restanti 2, quindi le disposizioni di 6 elementi in 2 posti mi pare siano 6*5=30. Però siccome conta anche l'ordine in cui possiamo mettere i 2 posti restanti, i casi diventano 30*28=840.

Ho detto delle cavolate? =D

Non so se il resto è giusto comunque nel numero di casi favorevoli non bisogna contare le disposizioni di 6 elementi in due posti ma piuttosto considerare che si deve scegliere 2 volte un elemento a caso da un insieme di 6 (in pratica le combinazioni sono 36 e non 30 perchè potrebbe anche uscirti due volte 6)....

Sì, ho capito, hai ragione. E' perché sono disposizioni con ripetizione, e quindi 6 alla 2 che dà 36, io le avevo fatte senza ripetizione.

Una correzione: i casi possibili non sono permutazioni, ma disposizioni con ripetizione, ho sbagliato il termine.

E ho scoperto da dove viene il 28: sono combinazioni di 8 elementi in 2 posti (che ha anche senso logicamente) e quindi in generale sono combinazioni di n elementi in n-6 posti.

Sarà giusto? =D

se provassimo a fare all'incontrario?
cioè calcolare la probabilità che NON escano tutti i 6 numeri
possiamo considerare tutti i possibili n lanci dove non compare un certo numero (per esempio il 6) che sono $ 5^n $, quindi moltiplicarlo per 6 e dividerlo per $ 6^n $
quindi dobbiamo di nuovo dividere per 5 perchè ogni lancio l'abbiamo considerato 5 volte
quindi basta fare 1-p e troviamo la nosta probabilità

penso (e spero) sia giusto...

non capisco perchè dividi per 5... alcuni lanci li hai contati cinque volte, precisamente 11111111,22222222....66666666, ma gli altri puoi averli contati da una a quattro volte, e cioè una volta per ogni numero che manca (12345123 lo conti una volta, 12341234 due etc.)

si puo' ancha fare cosi': il caso dei 6 lanci e' fissato: 6! casi.
7 lanci vuol dire aggiungere un numero in una delle posizioni possibili al caso con 6 casi.

Evelynn ha scritto: Il numero di casi favorevoli lo possiamo calcolare tenendo fissi i primi 6 posti e disponendo 6 elementi nei restanti 2, quindi le disposizioni di 6 elementi in 2 posti mi pare siano 6*5=30. Però siccome conta anche l'ordine in cui possiamo mettere i 2 posti restanti, i casi diventano 30*28=840.
Quindi alla fine la probabilità di avere tutti i 6 numeri con 8 lanci dovrebbe essere 840/1679616, più o meno uguale a 5 per dieci alla meno 4, quindi dello 0,05%.

Oltre alle correzioni già fatte mi pare di capire che conti solo come $ 1 $ la sestina di numeri tutti diversi... Occhio (0)!!! Non conta come $ 1 $ perchè, ad esempio, la sestina $ 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 $ è ben diversa da quella $ 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 $...
In ogni caso, anche se conti pure i $ 6! $ modi di disporre $ 6 $ numeri in $ 6 $ posizioni e lo moltiplichi per il tuo risultato, sfori perchè conti più volte combinazioni uguali...
Se ti dico perchè non vale (ed è già un suggerimento... )!!!

exodd ha scritto:se provassimo a fare all'incontrario?
cioè calcolare la probabilità che NON escano tutti i 6 numeri
possiamo considerare tutti i possibili n lanci dove non compare un certo numero (per esempio il 6) che sono , quindi moltiplicarlo per 6 e dividerlo per
quindi dobbiamo di nuovo dividere per 5 perchè ogni lancio l'abbiamo considerato 5 volte
quindi basta fare 1-p e troviamo la nosta probabilità

Di fondo non è una cattiva idea, tutt'altro...
Il problema è che in questo caso è più difficile calcolare la $ 1-p(n) $...

quicktimeplayers ha scritto:Oltre alle correzioni già fatte mi pare di capire che conti solo come $ 1 $ la sestina di numeri tutti diversi... Occhio (0)!!! Non conta come $ 1 $ perchè, ad esempio, la sestina $ 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 $ è ben diversa da quella $ 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 $...

Questo è vero, errore mio..

quicktimeplayers ha scritto:In ogni caso, anche se conti pure i $ 6! $ modi di disporre $ 6 $ numeri in $ 6 $ posizioni e lo moltiplichi per il tuo risultato, sfori perchè conti più volte combinazioni uguali...

..Questo invece non mi è chiaro perché.. O.o'

SkZ ha scritto:si puo' ancha fare cosi': il caso dei 6 lanci e' fissato: 6! casi.
7 lanci vuol dire aggiungere un numero in una delle posizioni possibili al caso con 6 casi.

prendendo le dovute precauzioni... bon, facciamo 'sti calcoli.
Fissiamo sei lanci, 6! possibilità, per esempio 123456. Ora posso mettere un numero, per esempio il 5, in 7 posizioni. A questo punto dividiamo per 2, perchè abbiamo contato due volte ogni combinazione (1235456-1235456;1234556-1234556). Siamo a $ $\frac{6\cdot7\cdot6!}2=3\cdot7! $ possibilità. Ora abbiamo 2 casi:
1. il prossimo lancio non è un 5, abbiamo quindi 5 possibilità per la cifra e 8 posizioni dove metterla, quindi $ $3\cdot5\cdot8! $ possibilità. Ora abbiamo ancora contato 2 volte ogni sequenza, quindi $ $3\cdot4\cdot5\cdot7! $.
2. il prossimo lancio è un 5, abbiamo 8 posizioni, e 3 ripetizioni (l'ultimo 5 può essere uno dei 3 presenti) $ $\frac{8\cdot3\cdot7!}3=8! $
Totale $ $3\cdot4\cdot5\cdot7!+8!=(60+8)\cdot7!=57120 $
Per il caso generale o si ha un'altra idea o si studia questo metodo all'aumentare dei lanci, cosa che ora non ho il tempo di fare che ho una pizza che mi aspetta. byes!

EDIT: ok, mangiando la pizza ci ho ripensato e ho contato troppe volte alcune combinazioni. Vedo se si può correggere senza mandare tutto in fumo.
EDIT2: ok, ora dovrebbe essere giusto. E' però un gran casino, quindi è facile che mi sia scappato ancora qualche numero.

julio14 ha scritto: Totale $ $3\cdot4\cdot5\cdot7!+8!=(60+8)\cdot7!=57120 $
Per il caso generale o si ha un'altra idea o si studia questo metodo all'aumentare dei lanci, cosa che ora non ho il tempo di fare che ho una pizza che mi aspetta. byes!

Uhm... pizza a parte direi che non è giusto... infatti $ \frac{57120}{6^8}}=0,034 $ e mi duole dire che non è il risultato cercato...