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Un tubo di lunghezza L, chiuso da due tappi alle estremità, contiene N>>1
cilindri identici di lunghezza a (Na<L) il cui diametro coincide con quello
interno del tubo. I cilindri scorrono senza attrito lungo il tubo e si urtano
elasticamente; il sistema dei cilindri è all’equilibrio termico alla temperatura
T del tubo. Si stimi come la forza media F con cui i cilindri premono sui tappi
dipenda da T, N, L, a.

Magari non si direbbe, ma a mio avviso c'entra il modello dei gas!

Oggi durante l'ora di filosofia ho provato a pensarci...

Allora per trovare la forza media applicata dai tappi usiamo la formula dell'impulso: $ $ \Delta F = \frac {\Delta p}{\Delta t} $.
Poichè gli urti dei cilindri sui tappi sono perfettamente elastici e non vi è perdita di energia nelll'urto, $ $ \Delta p = m_av-(-m_av ) = 2m_a v $, dove $ m_a $ è la massa di ogni cilindro e $ v $ è la velocità media di ogni cilindro (dopo un intervallo di tempo abbastanza ampio, possiamo assumere che i cilindri abbiano raggiunto tutti la stessa velocità).
Ora $ \Delta t $ è uguale all'intervallo di tempo che trascorre tra un urto e l'altro (un po' come nel problema 1 della gara di II livello delle olimpiadi di Fisica di quest'anno), perciò $ $ \Delta t = \frac {\Delta s}{\Delta v} = \frac {L-Na}{N v} $ (ho supposto che i cilindri siano distribuiti uniformemente lungo il tubo).
Perciò $ $ \Delta F = \frac {\Delta p}{\Delta t} = \frac{2m_a v}{\frac {L-Na}{N v}} = \frac {2N m_a v^2}{L-Na} $.
Ora possiamo applicare la formula per il modello cinetico dei gas perfetti, $ $ \frac {1}{2} m v^2 = \frac {3}{2} k_b T $ ; in questo caso però l'energia cinetica media è quella di ogni cilindro, quindi in conclusione si ottiene che $ $ \Delta F = \frac {2N m_a v^2}{L-Na} = \frac {6 N k_b T}{L-Na} $.
Secondo voi può andare bene? Come dovrebbe essere corretto il modello?

Un bel problema, no?

Guarda: $ N \gg 1 $, da cui abbiamo $ Na \gg a $. Abbiamo anche che $ L > Na $, quindi in definitiva $ L \gg a $, o, per evidenziare meglio il concetto, $ a \ll L $. Cioè, le dimensioni dei cilindri sono trascurabili rispetto a quelle del tubo, possiamo trattarli come corpi puntiformi

Attenzione ad una cosa: sui libri esce sempre quel $ $\frac{3k_{b}T}{2}$ $, ma, il teorema dell'equipartizione dell'energia dice che ad un sistema fatto di molti componenti ($ N \gg 1 $) (si dice in numero di $ N_{A} $, in genere) si assegna $ $\frac{1}{2}k_{b}T$ $ per ogni grado di libertà che hanno i componenti nel loro moto. In genere le molecole puntiformi di un gas monoatomico hanno 3 gradi di libertà, $ $x, y, z$ $ (ecco quel $ $\frac{3}{2}$ $), ma nel nostro caso, i cilindri si muovono solamente lungo $ $x$ $.
Quindi abbiamo $ $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}k_{b}T$ $.
Aggiungerei poi che tra un urto e l'altro il cilindro percorre 2 volte, andata e ritorno, la distanza che ha a disposizione (in media $ $L - Na / N$ $, come giustamente hai osservato), quindi porrei $ $\Delta t = \frac{2(L - Na)}{Nv}$ $.
Trovando alla fine: $ $(1)$ $ $ $ F = \frac{Nk_{b}T}{L - Na}$ $


Faccio queste osservazioni essendo indotto da...

$ $PV = Nk_{b}T$ $ , perché se questo sistema assomiglia ad un gas di cilindretti, trattiamolo come gas! $ $\frac{F}{S} \cdot S(L-Na) = Nk_{b}T$ $, e si ha la precedente

Oppure, se consideriamo V come il volume del tubo, avendo $ $ F = \frac{Nk_{b}T}{L}$ $, allora stiamo trattando i cilindretti come esattamente puntiformi, $ $a = 0$ $, e la prima formula si riconduce a questa



Unico neo: i cilindretti urtano tra loro, le molecole del gas perfetto no, non so se questo mina il ragionamento

Buono dai, più o meno ci ero arrivato!!
Le tue correzioni mi sembrano giuste, io direi che così vada proprio bene...
Comunque sono d'accordo, è veramente un bel problema!

Io ho un pò di dubbi sull'applicare la formula che correla energia cinetica a energia interna.
Mettiamola così, a me non tornava come mai non giochi la v media dei cilindri,
la quale sparisce proprio usando quella formula.
Però, nel ricavare tale formula, Clausius lavora appunto nell'ipotesi della teoria cinetica della materia, che in particolare vedeva i gas come formati da innumerevoli piccole particelle che rispettano certe proprietà (l'idealizzazione dei gas perfetti).
Il fatto è che allora si poteva associare la temperatura (energia interna) alla velocità (energia cinetica) media delle particelle, nel nostro caso invece, i cilindri posseggono energia interna derivante dalla loro temperatura (e quindi dall'en. cinetica media dei loro atomi), oltre all'energia cinetica derivante dal moto traslazionale.
E quindi non credo si possano associare con quella formula...

Immaginandoci la scena noi possiamo ben intuire che la velocità media dei cilindri influisca sulla forza esercitata dalle pareti, vien però da pensare, ricordando che cilindri e tubo sono all'equilibrio termico, che in qualchè modo questa velocità si tramuti mano a mano in temperatura, che noi sappiamo essere la T all'equilibrio termico, trattandosi però di urti elastici ciò non accade.

Non essendo fornita la velocità media dei cilindri, che pure concorre a stabilire la F, io credo che il problema fosse inteso da interpretare come avete fatto voi, magari in un modo un pò tirato

ah un ultima cosa, circa il trattare i cilindri come puntiformi, mi sembra strano visto che ti dicono che il loro diametro è uguale a quello del tubo.
Potremmo immaginarli come tante piastre a due Dimensioni forse, che si allontana dalle condizioni della teoria dei gas (=teoria cinetica della materia)
e il fatto che essi si urtino non mina la tua idea, o meglio è previsto anche nella teoria cinetica della materia che le particelle si urtino elasticamente.

il risultato e' quello per un gas che si muove lungo un solo asse

la velocita' media non si elimina: $ ~v^2\propto T $: viene solo espressa nella formula come agitazione termica.

Essendo all'equilibrio "non c'e' scambio di energia termica col sistema", ovvero tanta ne da' tanta ne riceve, quindi non bisogna considerare questo scambio.

la specifica che il diametro e' lo stesso e' per dire che i moti sono solo lungo l'asse: non ci sono collisioni contro le pareti. Se tu fai collassare il raggio del cilindro cambia nulla al sistema, quindi non e' errato considerare i corpi puntiformi

La velocità V dei cilindri sostieni che viene espressa dalla T, ma secondo me invece la T esprime la velocità media v delle particelle che compongono i vari cilindri (trattandosi di solidi abbiamo oscillazioni), la T non viene in alcun modo influenzata dalla V, che di conseguenza dovrebbe apparire nella formula che esprime la forza media esercitata contro i tappi.